Номер 2.310, страница 86, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.310 Вычислите:

а) $ \dfrac{4}{9} {\cdot} \Bigl( 3\dfrac{3}{14} {\cdot} 2\dfrac{4}{5} \Bigr)^2 $;

б) $ \Bigl( \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 + \dfrac{5}{9} \Bigr) {\cdot} \dfrac{9}{11} $;

В) $ \Bigl( 2\dfrac{1}{2} - \dfrac{11}{14} \Bigr) {\cdot} \Bigl( 1\dfrac{4}{9} + 2\dfrac{5}{6} - 2\dfrac{3}{4} \Bigr) $.

а) $\dfrac{4}{9} \overset{\color{red}3}{\cdot} \Bigl(3\dfrac{3}{14} \overset{\color{red}1}{\cdot} 2\dfrac{4}{5}\Bigr)^{\color{red}2} = 36$

1) $3\dfrac{3}{14} {\cdot} 2\dfrac{4}{5} = \dfrac{45}{14} {\cdot} \dfrac{14}{5} = \dfrac{{\color{red}\overset{9}{\cancel{45}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{14}}}}{{\color{blue}\underset{1}{\cancel{14}}} {\cdot} {\color{red}\underset{1}{\cancel{5}}}} =$

$= \dfrac{9 {\cdot} 1}{1 {\cdot} 1} = 9;$

2) $9^2 = 9 {\cdot} 9 = 81;$

3) $\dfrac{4}{9} {\cdot} 81 = \dfrac{4 {\cdot} \overset{9}{\cancel{81}}}{\underset{1}{\cancel{9}}} = \dfrac{4 {\cdot} 9}{1} = 36.$

б) $\Bigl(\Bigl(\dfrac{2}{3}\Bigr)^{\overset{\color{red}1}{3}} \overset{\color{red}2}{+} \dfrac{5}{9}\Bigr) \overset{\color{red}3}{\cdot} \dfrac{9}{11} = \dfrac{23}{33}$

1) $\Bigl(\dfrac{2}{3}\Bigr)^3 = \dfrac{2}{3} {\cdot} \dfrac{2}{3} {\cdot} \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 {\cdot} 2 {\cdot} 2}{3 {\cdot} 3 {\cdot} 3} = \dfrac{8}{27};$

2) $\dfrac{8}{27} + \dfrac{5}{9}^{\color{red}|{\cdot} 3} = \dfrac{8}{27} + \dfrac{15}{27} = \dfrac{23}{27};$

3) $\dfrac{23}{27} {\cdot} \dfrac{9}{11} = \dfrac{23 {\cdot} \overset{1}{\cancel{9}}}{\underset{3}{\cancel{27}} {\cdot} 11} =$

$= \dfrac{23 {\cdot} 1}{3 {\cdot} 11} = \dfrac{23}{33}.$

в) $\Bigl(2\dfrac{1}{2} \overset{\color{red}1}{-} \dfrac{11}{14}\Bigr) \overset{\color{red}3}{\cdot} \overset{\color{red}2}{\Bigl(1\dfrac{4}{9} + 2\dfrac{5}{6} - 2\dfrac{3}{4}\Bigr)} = 2\dfrac{13}{21}$

1) $2\dfrac{1}{2}^{\color{red}|{\cdot} 7} - \dfrac{11}{14} = 2\dfrac{7}{14} - \dfrac{11}{14} =$

$= 1\dfrac{21}{14} - \dfrac{11}{14} = 1\dfrac{\overset{5}{\cancel{10}}}{\underset{7}{\cancel{14}}} = 1\dfrac{5}{7};$

2) $1\dfrac{4}{9}^{\color{red}|{\cdot} 4} + 2\dfrac{5}{6}^{\color{red}|{\cdot} 6} - 2\dfrac{3}{4}^{\color{red}|{\cdot} 9} =$

$= 1\dfrac{16}{36} + 2\dfrac{30}{36} - 2\dfrac{27}{36} = 1\dfrac{19}{36};$

3) $1\dfrac{5}{7} {\cdot} 1\dfrac{19}{36} = \dfrac{12}{7} {\cdot} \dfrac{55}{36} = \dfrac{\overset{1}{\cancel{12}} {\cdot} 55}{7 {\cdot} \underset{3}{\cancel{36}}} =$

$= \dfrac{1 {\cdot} 55}{7 {\cdot} 3} = \dfrac{55}{21} = 2\dfrac{13}{21}.$

а) $\frac{4}{9} \div \left(3\frac{3}{14} \cdot 2\frac{4}{5}\right)^2$

1. Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{42 + 3}{14} = \frac{45}{14}$

$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}$

2. Умножим полученные дроби:

$\frac{45}{14} \cdot \frac{14}{5} = \frac{45 \cdot 14}{14 \cdot 5} = \frac{45}{5} = 9$

3. Теперь возведем результат в квадрат:

$9^2 = 81$

4. Выполним деление. Чтобы разделить на число, нужно умножить на обратное ему число:

$\frac{4}{9} \div 81 = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{81} = \frac{4}{9 \cdot 81} = \frac{4}{729}$

Ответ: $\frac{4}{729}$

б) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \frac{5}{9}\right) \cdot \frac{9}{11}$

1. Первым действием возведем дробь в степень:

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

2. Далее выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 27:

$\frac{8}{27} + \frac{5}{9} = \frac{8}{27} + \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{8}{27} + \frac{15}{27} = \frac{8+15}{27} = \frac{23}{27}$

3. Теперь умножим результат на дробь $\frac{9}{11}$ и сократим:

$\frac{23}{27} \cdot \frac{9}{11} = \frac{23 \cdot 9}{27 \cdot 11} = \frac{23 \cdot 1}{3 \cdot 11} = \frac{23}{33}$

Ответ: $\frac{23}{33}$

в) $\left(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}\right) \cdot \left(1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4}\right)$

1. Вычислим значение в первых скобках. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приведем дроби к общему знаменателю 14:

$2\frac{1}{2} - \frac{11}{14} = \frac{5}{2} - \frac{11}{14} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 7} - \frac{11}{14} = \frac{35 - 11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

2. Вычислим значение во вторых скобках. Сначала преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$; $2\frac{5}{6} = \frac{17}{6}$; $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

3. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{13}{9}$, $\frac{17}{6}$ и $\frac{11}{4}$. Наименьшее общее кратное чисел 9, 6 и 4 это 36. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{13}{9} + \frac{17}{6} - \frac{11}{4} = \frac{13 \cdot 4}{36} + \frac{17 \cdot 6}{36} - \frac{11 \cdot 9}{36} = \frac{52 + 102 - 99}{36} = \frac{154 - 99}{36} = \frac{55}{36}$

4. Теперь умножим результаты вычислений из обеих скобок:

$\frac{12}{7} \cdot \frac{55}{36} = \frac{12 \cdot 55}{7 \cdot 36}$

5. Сократим дробь на 12:

$\frac{1 \cdot 55}{7 \cdot 3} = \frac{55}{21}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{55}{21} = 2\frac{13}{21}$

Ответ: $2\frac{13}{21}$