Вопросы в параграфе, страница 73, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

11. Действия сложения и вычитания смешанных чисел. § 2. Действия со смешенными числами. ч. 1 - страница 73.

Вопросы:

Как найти сумму смешанных чисел?

На каких свойствах сложения основано правило сложения смешанных чисел?

Как найти разность смешанных чисел?

На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел?

Вопросы к параграфу:

• чтобы найти сумму смешанных чисел, надо:
  1) дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю
  2) отдельно выполнить сложение целых и отдельно дробных частей
  3) при необходимости сократить дробь, выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части

• правило сложения смешанных чисел основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения

• чтобы найти разность смешанных чисел, надо:
  1) дробные части этих чисел привести к наименьшему общему знаменателю
  2) если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то надо отдельно вычесть целые и отдельно дробные части и результаты сложить
  3) если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо представить дробную часть уменьшаемого в виде неправильной дроби, уменьшив на единицу целую часть, и выполнить вычитание по пункту 2
  при необходимости сократить дробь

• правило вычитания смешанных чисел основано на свойствах вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы

Как найти сумму смешанных чисел?

Существует два основных способа сложения смешанных чисел.

Способ 1: Преобразование в неправильные дроби.

1. Каждое смешанное число преобразуют в неправильную дробь. Например, $2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$.
2. Полученные дроби приводят к общему знаменателю (если необходимо).
3. Складывают числители дробей, а знаменатель оставляют прежним.
4. Если в результате получилась неправильная дробь, ее снова преобразуют в смешанное число.

Способ 2: Покомпонентное сложение (часто удобнее).

1. Складывают целые части смешанных чисел отдельно.
2. Складывают дробные части смешанных чисел отдельно. Если у них разные знаменатели, их предварительно приводят к общему знаменателю.
3. Полученные результаты суммируют.
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью, из нее выделяют целую часть и добавляют ее к сумме целых частей.

Пример: Найдем сумму $3\frac{1}{6} + 2\frac{3}{4}$.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.
2. Складываем дробные части: $\frac{1}{6} + \frac{3}{4}$. Общий знаменатель для 6 и 4 равен 12.
3. $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{2+9}{12} = \frac{11}{12}$.
4. Складываем результаты: $5 + \frac{11}{12} = 5\frac{11}{12}$.

Пример с неправильной дробью в сумме: Найдем сумму $5\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2}$.

1. Целые части: $5 + 1 = 6$.
2. Дробные части: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$.
3. Сумма дробных частей $\frac{7}{6}$ — неправильная дробь. Выделим целую часть: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
4. Добавим эту целую часть к сумме целых частей: $6 + 1\frac{1}{6} = 7\frac{1}{6}$.

Ответ: Чтобы найти сумму смешанных чисел, нужно сложить отдельно их целые части и отдельно их дробные части, а затем сложить полученные результаты. Если сумма дробных частей окажется неправильной дробью, из нее следует выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей.

На каких свойствах сложения основано правило сложения смешанных чисел?

Правило сложения смешанных чисел, при котором отдельно складываются целые и дробные части, основано на представлении смешанного числа в виде суммы его целой и дробной частей, а также на свойствах сложения чисел.

Смешанное число $a\frac{b}{c}$ — это сокращенная запись суммы $a + \frac{b}{c}$.

Рассмотрим сумму двух смешанных чисел $a\frac{b}{c}$ и $d\frac{e}{f}$:

$a\frac{b}{c} + d\frac{e}{f} = (a + \frac{b}{c}) + (d + \frac{e}{f})$

Используя свойства сложения, мы можем перегруппировать слагаемые:

$(a + \frac{b}{c}) + (d + \frac{e}{f}) = a + \frac{b}{c} + d + \frac{e}{f} = (a+d) + (\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$

Эта перегруппировка возможна благодаря двум основным свойствам сложения:

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность): от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($x+y = y+x$).
2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего ($(x+y)+z = x+(y+z)$).

Именно эти свойства позволяют нам сначала сгруппировать и сложить целые части $(a+d)$, а затем отдельно сгруппировать и сложить дробные части $(\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$.

Ответ: Правило сложения смешанных чисел основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения.

Как найти разность смешанных чисел?

Как и в случае со сложением, есть два основных способа.

Способ 1: Преобразование в неправильные дроби.

Этот способ универсален: оба смешанных числа переводятся в неправильные дроби, приводятся к общему знаменателю, затем выполняется вычитание. Результат при необходимости переводится обратно в смешанное число.

Способ 2: Покомпонентное вычитание.

1. Вычитают целые части.
2. Вычитают дробные части (предварительно приведя их к общему знаменателю).
3. Складывают полученные результаты.

При использовании этого способа может возникнуть ситуация, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

Пример 1 (простой случай): Найдем разность $8\frac{5}{7} - 3\frac{2}{7}$.

1. Вычитаем целые части: $8 - 3 = 5$.
2. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
3. Складываем результаты: $5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Пример 2 (со случаем "занятия" единицы): Найдем разность $5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}$.

Здесь дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{4}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{4}$).

1. "Занимаем" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 5) и представляем ее в виде дроби со знаменателем 4: $1 = \frac{4}{4}$.
2. Преобразуем уменьшаемое: $5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
3. Теперь вычитание возможно: $4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4}$.
4. Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$.
5. Вычитаем дробные части: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
6. Результат: $2\frac{1}{2}$.

Ответ: Чтобы найти разность смешанных чисел, нужно из целой части уменьшаемого вычесть целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого — дробную часть вычитаемого, и сложить результаты. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить ее в виде неправильной дроби и прибавить к дробной части, после чего выполнить вычитание.

На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел?

Правило вычитания смешанных чисел, как и правило сложения, опирается на представление смешанного числа в виде суммы и на свойства арифметических операций.

Выражение $a\frac{b}{c} - d\frac{e}{f}$ можно записать как $(a + \frac{b}{c}) - (d + \frac{e}{f})$.

Здесь ключевым является свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно из этого числа вычесть каждое слагаемое поочередно. Формально: $x - (y+z) = x - y - z$.

Применим это свойство:

$(a + \frac{b}{c}) - (d + \frac{e}{f}) = a + \frac{b}{c} - d - \frac{e}{f}$

Далее, используя переместительное и сочетательное свойства сложения (так как вычитание можно представить как сложение с отрицательным числом), мы можем перегруппировать члены:

$a - d + \frac{b}{c} - \frac{e}{f} = (a - d) + (\frac{b}{c} - \frac{e}{f})$

Это и есть математическое обоснование покомпонентного вычитания.

Случай, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого и требуется "занять" единицу, основан на:

1. Представлении смешанного числа в виде суммы: $a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}$.
2. Представлении целого числа в виде дроби с любым знаменателем: $1 = \frac{n}{n}$.

Например: $5\frac{1}{4} = (4+1) + \frac{1}{4} = 4 + (1 + \frac{1}{4}) = 4 + (\frac{4}{4} + \frac{1}{4}) = 4 + \frac{5}{4} = 4\frac{5}{4}$.

Ответ: Правило вычитания смешанных чисел основано на определении смешанного числа как суммы целой и дробной частей, на свойстве вычитания суммы из числа ($x - (y+z) = x-y-z$), а также на возможности представить единицу в виде дроби с одинаковым числителем и знаменателем.