Номер 4, страница 70, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. Проверьте себя №1 - номер 4, страница 70.

Условие.

4. Повторяя изученные за учебный год слова на английском языке три одноклассника выяснили, что Петя помнит 1113, Витя — 5760, а Миша — 712 всех изученных за год слов.

а) Кто из ребят помнит больше английских слов?

б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?

в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?

г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Решение 1.

4.

а) приведем дроби $\frac{11}{13}$, $\frac{57}{60}$и $\frac{7}{12}$ к общему знаменателю

$\mathrm{НОК} (13; 60; 12) = 2 · 2 · 3 · 5 · 13 = 780$

$$\begin{gathered} \frac{11}{13}=\frac{11 · 2 · 2 · 3 · 5 }{13 · 2 · 2 · 3 · 5 }=\frac{660}{780} \\ \frac{{\displaystyle \stackrel{19}{\cancel{57}}}}{{\displaystyle \underset{20}{\cancel{60}}}}=\frac{19}{20}=\frac{19 · 13 · 5 }{20 · 13 · 3 }=\frac{741}{780} \\ \frac{7}{12}=\frac{7 · 13 · 5 }{12 · 13 · 5 }=\frac{455}{780} \\ \frac{455}{780}<\frac{660}{780}<\frac{741}{780} \\ \frac{7}{12}<\frac{11}{13}<\frac{57}{60} \end{gathered}$$

Ответ: больше всего слов помнит Витя

б) Больше всех слов нужно повторить Мише

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathrm{НОК} (13; 60; 12) = 2 · 2 · 3 · 5 · 13 = 780$

Ребята изучили за год 780 слов.

$\mathbf{г}\mathbf{)} 780 -\frac{11}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}· \stackrel{60}{\cancel{780}} = 780 – 11 · 60 =$

$=780 – 660 = 120$слов – нужно повторить Пете

$780 -\frac{19}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{20}}}}· \stackrel{39}{\cancel{780}} = 780 – 19 ·39 =$

$=780 – 741= 39$ слов – нужно повторить Вите

$780 -\frac{7}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{12}}}}· \stackrel{65}{\cancel{780}} = 780 – 7 · 65 =$

$= 780 - 455 = 325$ слов – нужно повторить Мише

Решение 2.

а) Кто из ребят помнит больше английских слов?

Чтобы определить, кто из ребят помнит больше слов, необходимо сравнить дроби, которые показывают долю выученных слов каждым из них: $\frac{11}{13}$ (Петя), $\frac{57}{60}$ (Витя) и $\frac{7}{12}$ (Миша).

Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 13, 60 и 12.

Поскольку 60 делится на 12, НОК(60, 12) = 60. Тогда НОК(13, 60, 12) = НОК(13, 60). Так как 13 — простое число, то $\text{НОК}(13, 60) = 13 \times 60 = 780$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 780:

Петя: $\frac{11}{13} = \frac{11 \times 60}{13 \times 60} = \frac{660}{780}$

Витя: $\frac{57}{60} = \frac{57 \times 13}{60 \times 13} = \frac{741}{780}$

Миша: $\frac{7}{12} = \frac{7 \times 65}{12 \times 65} = \frac{455}{780}$

Сравниваем числители полученных дробей: $741 > 660 > 455$.

Это значит, что $\frac{57}{60} > \frac{11}{13} > \frac{7}{12}$.

Следовательно, больше всех слов помнит Витя.

Ответ: Витя помнит больше всех английских слов.

б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?

Больше всего слов нужно повторить тому, кто помнит их меньше всего. Как мы выяснили в предыдущем пункте, наименьшая доля выученных слов у Миши ($\frac{455}{780}$).

Другой способ — найти долю слов, которую каждому нужно повторить. Для этого вычтем долю запомненных слов из единицы (которая представляет все слова):

Пете нужно повторить: $1 - \frac{11}{13} = \frac{13}{13} - \frac{11}{13} = \frac{2}{13}$ всех слов.

Вите нужно повторить: $1 - \frac{57}{60} = \frac{60}{60} - \frac{57}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ всех слов.

Мише нужно повторить: $1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ всех слов.

Теперь сравним эти дроби ($\frac{2}{13}, \frac{1}{20}, \frac{5}{12}$), приведя их к общему знаменателю 780:

Петя: $\frac{2}{13} = \frac{2 \times 60}{13 \times 60} = \frac{120}{780}$

Витя: $\frac{1}{20} = \frac{1 \times 39}{20 \times 39} = \frac{39}{780}$

Миша: $\frac{5}{12} = \frac{5 \times 65}{12 \times 65} = \frac{325}{780}$

Сравнив числители, получаем: $325 > 120 > 39$.

Значит, $\frac{5}{12} > \frac{2}{13} > \frac{1}{20}$.

Следовательно, больше всего слов нужно повторить Мише.

Ответ: Мише нужно повторить больше английских слов.

в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?

Пусть N — общее количество изученных слов. Поскольку количество слов, которые помнит каждый из мальчиков (например, $\frac{11}{13} \times N$), должно быть целым числом, то N должно без остатка делиться на знаменатели дробей: 13, 60 и 12.

Таким образом, N является общим кратным чисел 13, 60 и 12. Чтобы найти возможное количество слов, найдем их наименьшее общее кратное (НОК), которое мы уже вычислили в пункте а).

$\text{НОК}(13, 60, 12) = 780$.

Это означает, что общее количество слов должно быть кратно 780 (например, 780, 1560, 2340 и т.д.). По условию задачи, общее количество слов меньше 800. Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это 780.

Ответ: Всего ребята изучили 780 английских слов.

г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Теперь, когда мы знаем общее количество слов (780), мы можем рассчитать, сколько слов нужно повторить каждому из ребят, используя доли, найденные в пункте б).

Пете нужно повторить: $\frac{2}{13}$ от 780.
$\frac{2}{13} \times 780 = 2 \times (780 \div 13) = 2 \times 60 = 120$ слов.

Вите нужно повторить: $\frac{1}{20}$ от 780.
$\frac{1}{20} \times 780 = 780 \div 20 = 39$ слов.

Мише нужно повторить: $\frac{5}{12}$ от 780.
$\frac{5}{12} \times 780 = 5 \times (780 \div 12) = 5 \times 65 = 325$ слов.

Ответ: Пете нужно повторить 120 слов, Вите – 39 слов, а Мише – 325 слов.

Решение 3.

Решение 4.