Номер 3, страница 70, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Часть 1. Параграф 2. Действия со смешенными числами. Проверьте себя №1 - номер 3, страница 70.

Условие.

3. Вычислите:

а) 514 + 521;

б) 514 – 521;

в) 1730 + 1170;

г) 1730 – 1170;

д) 922 + 2121;

е) 922 – 2121.

Решение 1.

3.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{14}}^{\overline{)·3}}+{\frac{5}{21}}^{\overline{)·2}}=\frac{5 · 3}{14 · 3}+\frac{5 · 2}{21 · 2}= \\ =\frac{15}{42}+\frac{10}{42}=\frac{25}{42} \end{gathered}$$

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{5}{14}}^{\overline{)·3}}+{\frac{5}{21}}^{\overline{)·2}}=\frac{15}{42}-\frac{10}{42}=\frac{25}{42}$

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{30}}^{\overline{)·7}}+{\frac{11}{70}}^{\overline{)·3}}=\frac{119}{210}+\frac{33}{210}=\frac{{\displaystyle \stackrel{76}{\cancel{152}}}}{{\displaystyle \underset{105}{\cancel{210}}}}=\frac{76}{105}$

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{17}{30}}^{\overline{)·7}}-{\frac{11}{70}}^{\overline{)·3}}=\frac{119}{210}-\frac{33}{210}=\frac{{\displaystyle \stackrel{43}{\cancel{86}}}}{{\displaystyle \underset{105}{\cancel{210}}}}=\frac{43}{105}$

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{9}{22}}^{\overline{)·11}}+{\frac{2}{121}}^{\overline{)·2}}=\frac{99}{242}+\frac{4}{242}=\frac{103}{242}$

$\mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{\frac{9}{22}}^{\overline{)·11}}-{\frac{2}{121}}^{\overline{)·2}}=\frac{99}{242}-\frac{4}{242}=\frac{95}{242}$

Решение 2.

а) $\frac{5}{14} + \frac{5}{21}$. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 14 и 21. Разложим их на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$. НОК(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $42 \div 14 = 3$. Для второй дроби: $42 \div 21 = 2$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель: $\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{15}{42} + \frac{10}{42}$. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{15 + 10}{42} = \frac{25}{42}$. Дробь является несократимой, так как числитель 25 ($5^2$) и знаменатель 42 ($2 \cdot 3 \cdot 7$) не имеют общих делителей, кроме 1. Ответ: $\frac{25}{42}$.

б) $\frac{5}{14} - \frac{5}{21}$. Выполним вычитание, используя тот же общий знаменатель, что и в предыдущем примере, — 42. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{42} - \frac{5 \cdot 2}{42} = \frac{15}{42} - \frac{10}{42}$. Вычтем числители: $\frac{15 - 10}{42} = \frac{5}{42}$. Дробь является несократимой, так как 5 — простое число, а 42 на 5 не делится. Ответ: $\frac{5}{42}$.

в) $\frac{17}{30} + \frac{11}{70}$. Найдем НОК знаменателей 30 и 70. Разложим их на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОК(30, 70) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Дополнительный множитель для первой дроби: $210 \div 30 = 7$. Дополнительный множитель для второй дроби: $210 \div 70 = 3$. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: $\frac{17 \cdot 7}{30 \cdot 7} + \frac{11 \cdot 3}{70 \cdot 3} = \frac{119}{210} + \frac{33}{210} = \frac{119 + 33}{210} = \frac{152}{210}$. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому их можно разделить на 2: $\frac{152 \div 2}{210 \div 2} = \frac{76}{105}$. Проверим, можно ли сократить дальше. Разложим 76 и 105 на множители: $76 = 2^2 \cdot 19$ и $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общих множителей нет. Ответ: $\frac{76}{105}$.

г) $\frac{17}{30} - \frac{11}{70}$. Используем общий знаменатель 210, как в пункте в). $\frac{17 \cdot 7}{210} - \frac{11 \cdot 3}{210} = \frac{119}{210} - \frac{33}{210} = \frac{119 - 33}{210} = \frac{86}{210}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{86 \div 2}{210 \div 2} = \frac{43}{105}$. Число 43 является простым, а 105 на 43 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{43}{105}$.

д) $\frac{9}{22} + \frac{2}{121}$. Найдем НОК знаменателей 22 и 121. Разложим на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$ и $121 = 11^2$. НОК(22, 121) = $2 \cdot 11^2 = 2 \cdot 121 = 242$. Дополнительный множитель для первой дроби: $242 \div 22 = 11$. Дополнительный множитель для второй дроби: $242 \div 121 = 2$. Выполним сложение: $\frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 11} + \frac{2 \cdot 2}{121 \cdot 2} = \frac{99}{242} + \frac{4}{242} = \frac{99 + 4}{242} = \frac{103}{242}$. Число 103 является простым, а 242 на 103 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{103}{242}$.

е) $\frac{9}{22} - \frac{2}{121}$. Используем общий знаменатель 242 из предыдущего пункта. $\frac{9 \cdot 11}{242} - \frac{2 \cdot 2}{242} = \frac{99}{242} - \frac{4}{242} = \frac{99 - 4}{242} = \frac{95}{242}$. Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим на множители: $95 = 5 \cdot 19$ и $242 = 2 \cdot 11^2$. Общих множителей нет, дробь несократимая. Ответ: $\frac{95}{242}$.

Решение 3.

Решение 4.