Номер 3, страница 70, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3 Вычислите:

а) $\dfrac{5}{14} + \dfrac{5}{21}$;

б) $\dfrac{5}{14} - \dfrac{5}{21}$;

в) $\dfrac{17}{30} + \dfrac{11}{70}$;

г) $\dfrac{17}{30} - \dfrac{11}{70}$;

д) $\dfrac{9}{22} + \dfrac{2}{121}$;

е) $\dfrac{9}{22} - \dfrac{2}{121}$.

а) $\dfrac{5}{14}^{{\color{red}|{\cdot}3}} + \dfrac{5}{21}^{{\color{red}|{\cdot}2}} = \dfrac{15}{42} + \dfrac{10}{42} = \dfrac{25}{42}$

б) $\dfrac{5}{14}^{{\color{red}|{\cdot}3}} - \dfrac{5}{21}^{{\color{red}|{\cdot}2}} = \dfrac{15}{42} - \dfrac{10}{42} = \dfrac{5}{42}$

в) $\dfrac{17}{30}^{{\color{red}|{\cdot}7}} + \dfrac{11}{70}^{{\color{red}|{\cdot}3}} = \dfrac{119}{210} + \dfrac{33}{210} =$

$= \dfrac{\overset{76}{\cancel{152}}}{\underset{105}{\cancel{210}}} = \dfrac{76}{105}$

г) $\dfrac{17}{30}^{{\color{red}|{\cdot}7}} - \dfrac{11}{70}^{{\color{red}|{\cdot}3}} = \dfrac{119}{210} - \dfrac{33}{210} =$

$= \dfrac{\overset{43}{\cancel{86}}}{\underset{105}{\cancel{210}}} = \dfrac{43}{105}$

д) $\dfrac{9}{22}^{{\color{red}|{\cdot}11}} + \dfrac{2}{121}^{{\color{red}|{\cdot}2}} = \dfrac{99}{242} + \dfrac{4}{242} =$

$= \dfrac{103}{242}$

е) $\dfrac{9}{22}^{{\color{red}|{\cdot}11}} - \dfrac{2}{121}^{{\color{red}|{\cdot}2}} = \dfrac{99}{242} - \dfrac{4}{242} =$

$= \dfrac{95}{242}$

а) $\frac{5}{14} + \frac{5}{21}$. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 14 и 21. Разложим их на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$. НОК(14, 21) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби: $42 \div 14 = 3$. Для второй дроби: $42 \div 21 = 2$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель: $\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{15}{42} + \frac{10}{42}$. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{15 + 10}{42} = \frac{25}{42}$. Дробь является несократимой, так как числитель 25 ($5^2$) и знаменатель 42 ($2 \cdot 3 \cdot 7$) не имеют общих делителей, кроме 1. Ответ: $\frac{25}{42}$.

б) $\frac{5}{14} - \frac{5}{21}$. Выполним вычитание, используя тот же общий знаменатель, что и в предыдущем примере, — 42. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{5 \cdot 3}{42} - \frac{5 \cdot 2}{42} = \frac{15}{42} - \frac{10}{42}$. Вычтем числители: $\frac{15 - 10}{42} = \frac{5}{42}$. Дробь является несократимой, так как 5 — простое число, а 42 на 5 не делится. Ответ: $\frac{5}{42}$.

в) $\frac{17}{30} + \frac{11}{70}$. Найдем НОК знаменателей 30 и 70. Разложим их на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ и $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. НОК(30, 70) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$. Дополнительный множитель для первой дроби: $210 \div 30 = 7$. Дополнительный множитель для второй дроби: $210 \div 70 = 3$. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: $\frac{17 \cdot 7}{30 \cdot 7} + \frac{11 \cdot 3}{70 \cdot 3} = \frac{119}{210} + \frac{33}{210} = \frac{119 + 33}{210} = \frac{152}{210}$. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому их можно разделить на 2: $\frac{152 \div 2}{210 \div 2} = \frac{76}{105}$. Проверим, можно ли сократить дальше. Разложим 76 и 105 на множители: $76 = 2^2 \cdot 19$ и $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общих множителей нет. Ответ: $\frac{76}{105}$.

г) $\frac{17}{30} - \frac{11}{70}$. Используем общий знаменатель 210, как в пункте в). $\frac{17 \cdot 7}{210} - \frac{11 \cdot 3}{210} = \frac{119}{210} - \frac{33}{210} = \frac{119 - 33}{210} = \frac{86}{210}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{86 \div 2}{210 \div 2} = \frac{43}{105}$. Число 43 является простым, а 105 на 43 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{43}{105}$.

д) $\frac{9}{22} + \frac{2}{121}$. Найдем НОК знаменателей 22 и 121. Разложим на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$ и $121 = 11^2$. НОК(22, 121) = $2 \cdot 11^2 = 2 \cdot 121 = 242$. Дополнительный множитель для первой дроби: $242 \div 22 = 11$. Дополнительный множитель для второй дроби: $242 \div 121 = 2$. Выполним сложение: $\frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 11} + \frac{2 \cdot 2}{121 \cdot 2} = \frac{99}{242} + \frac{4}{242} = \frac{99 + 4}{242} = \frac{103}{242}$. Число 103 является простым, а 242 на 103 не делится, следовательно, дробь несократимая. Ответ: $\frac{103}{242}$.

е) $\frac{9}{22} - \frac{2}{121}$. Используем общий знаменатель 242 из предыдущего пункта. $\frac{9 \cdot 11}{242} - \frac{2 \cdot 2}{242} = \frac{99}{242} - \frac{4}{242} = \frac{99 - 4}{242} = \frac{95}{242}$. Проверим, можно ли сократить дробь. Разложим на множители: $95 = 5 \cdot 19$ и $242 = 2 \cdot 11^2$. Общих множителей нет, дробь несократимая. Ответ: $\frac{95}{242}$.