Страница 25, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.94. В математическом кружке занимаются 8 девочек, а мальчиков на 4 больше. Сколько процентов всех ребят, занимающихся в кружке, составляют мальчики; девочки?

1.94

$\mathbf{1}\mathbf{)} 8 + 4 = 12$(ч) – мальчиков в кружке;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 8 + 12 = 20$(ч) – всего в кружке;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{6}{\cancel{12}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{20}}}} · 100\% =\frac{6}{10} · 100\% = 0,6 · 100\% = 60\%$- составляют мальчики;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{20}}}}· 100\% = \frac{4}{10} · 100\% = 0,4 · 100\% = 40\%$- составляют девочки.

Ответ: 60% мальчиков и 40% девочек.

Для решения задачи сначала выполним несколько предварительных шагов.

1. Найдём количество мальчиков, занимающихся в кружке. По условию, их на 4 больше, чем девочек (которых 8):
$8 + 4 = 12$ (мальчиков).

2. Найдём общее количество ребят в кружке. Для этого сложим количество девочек и мальчиков:
$8 + 12 = 20$ (ребят).

Общее количество ребят (20) является 100%. Теперь мы можем рассчитать, какую долю от этого числа составляют мальчики и девочки.

мальчики
Чтобы найти, сколько процентов от всех ребят составляют мальчики, нужно количество мальчиков разделить на общее число ребят и умножить на 100%.
$\frac{12}{20} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\%$.
Ответ: 60%.

девочки
Чтобы найти, сколько процентов от всех ребят составляют девочки, нужно количество девочек разделить на общее число ребят и умножить на 100%.
$\frac{8}{20} \times 100\% = 0,4 \times 100\% = 40\%$.
Также можно было найти этот процент, вычтя долю мальчиков из 100%: $100\% - 60\% = 40\%$.
Ответ: 40%.

1.95. На клумбе растут белые, розовые и бордовые пионы. Белые пионы составляют 40 % всех пионов, розовые — 58 % остальных, а бордовых пионов на клумбе 126. Сколько всего пионов на клумбе?

1.95

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% – 58\% = 42\% : 100\% = 0,42$- от остальных пионов составляют бордовые пионы;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 126 : 0,42 = 12600 : 42 = 300$(п) – составляют розовые и бордовые пионы;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 100\% – 40\% = 60\% : 100\% = 0,6$- составляют розовые и бордовые пионы;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 300 : 0,6 = 3000 : 6 = 500$(п) – всего на клумбе.

Ответ: 500 пионов.

Для решения задачи обозначим общее количество пионов на клумбе переменной $x$.

1. Сначала определим долю пионов, которые не являются белыми.
Белые пионы составляют 40% от всех пионов. Следовательно, остальные пионы (розовые и бордовые) составляют $100\% - 40\% = 60\%$ от общего числа.
В виде десятичной дроби это будет $0,6x$.

2. Теперь рассмотрим эту оставшуюся часть, которая составляет $0,6x$.
Розовые пионы составляют 58% от этого остатка. Значит, бордовые пионы составляют $100\% - 58\% = 42\%$ от остатка.

3. Теперь мы можем найти, какую долю от общего числа пионов ($x$) составляют бордовые пионы.
Они составляют 42% от 60% всех пионов. Чтобы найти итоговую долю, перемножим соответствующие десятичные дроби:
$0,42 \cdot 0,6x = 0,252x$.
Таким образом, бордовые пионы составляют 0,252 (или 25,2%) от общего числа пионов на клумбе.

4. В условии задачи дано точное количество бордовых пионов — 126. Мы можем составить и решить уравнение:
$0,252x = 126$

5. Найдем $x$:
$x = \frac{126}{0,252}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 1000:
$x = \frac{126000}{252}$
Заметим, что $252 = 2 \cdot 126$. Сократим дробь:
$x = \frac{1000 \cdot 126}{2 \cdot 126} = \frac{1000}{2} = 500$.
Итак, общее количество пионов на клумбе равно 500.

Проверка:
Всего пионов: 500.
Белые пионы: $500 \cdot 0,40 = 200$.
Остаток: $500 - 200 = 300$.
Розовые пионы: $300 \cdot 0,58 = 174$.
Бордовые пионы: $300 - 174 = 126$.
Полученное количество бордовых пионов совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: всего на клумбе 500 пионов.

1.96. Найдите значение выражения:

а) 2,34 : 0,39 · (10,7 - 2,3) : ((8,9 - 5,7) · (2,11 + 1,04));

б) (9,9 - 5,52 : 0,69 + 8,1) · ((5 - 0,125) : (3,7 + 0,05)).

1.96

$\mathbf{а}\mathbf{)} 2,34\stackrel{5}{ :} 0,39 \stackrel{6}{·} (10,7 \stackrel{3}{–} 2,3) \stackrel{7}{:} ((8,9 \stackrel{1}{–} 5,7) \stackrel{4}{·} (2,11 \stackrel{2}{+} 1,04)) = 5$

1.	2.	3.	4.
5.	6	7.

$\mathbf{б}\mathbf{)} (9,9 \stackrel{2}{–} 5,52\stackrel{1}{ : }0,69 \stackrel{3}{+} 8,1) \stackrel{7}{·} ((5 \stackrel{4}{–} 0,125) \stackrel{6}{:} (3,7 \stackrel{5}{+} 0,05)) = 13.$

1.	2.	$3. 1,9 + 8,1 = 10$
4.	5.	6.
$7. 10· 1,3= 13$

а) $2,34 : 0,39 \cdot (10,7 - 2,3) : ((8,9 - 5,7) \cdot (2,11 + 1,04))$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление в порядке их следования слева направо.

1) Выполним вычитание в первой скобке: $10,7 - 2,3 = 8,4$.

2) Выполним действия во второй группе скобок: $((8,9 - 5,7) \cdot (2,11 + 1,04))$.

а) $8,9 - 5,7 = 3,2$

б) $2,11 + 1,04 = 3,15$

в) $3,2 \cdot 3,15 = 10,08$

3) Теперь исходное выражение выглядит так:

$2,34 : 0,39 \cdot 8,4 : 10,08$

4) Выполняем оставшиеся действия слева направо:

а) $2,34 : 0,39 = 6$

б) $6 \cdot 8,4 = 50,4$

в) $50,4 : 10,08 = 5$

Ответ: $5$

б) $(9,9 - 5,52 : 0,69 + 8,1) \cdot ((5 - 0,125) : (3,7 + 0,05))$

Решим выражение, соблюдая порядок действий. Сначала вычислим значения в каждой из двух больших скобок, а затем перемножим результаты.

1. Вычислим значение в первой скобке: $(9,9 - 5,52 : 0,69 + 8,1)$.

а) Сначала выполняем деление: $5,52 : 0,69 = 8$.

б) Теперь выполняем вычитание и сложение слева направо: $9,9 - 8 + 8,1 = 1,9 + 8,1 = 10$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $((5 - 0,125) : (3,7 + 0,05))$.

а) Вычисляем первую внутреннюю скобку: $5 - 0,125 = 4,875$.

б) Вычисляем вторую внутреннюю скобку: $3,7 + 0,05 = 3,75$.

в) Выполняем деление: $4,875 : 3,75 = 1,3$.

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$10 \cdot 1,3 = 13$

Ответ: $13$

4.94. Какое из чисел больше:

а) –5 и 0; б) 7 и 0; в) 0 и –3,2; г) 110 и 0?

4.94

а) 0 > -5

б) 7 > 0

в) 0 > -3,2

г) $\frac{1}{10}$ > 0

а) Для сравнения чисел $-5$ и $0$ воспользуемся правилом: любое отрицательное число меньше нуля. Так как $-5$ — отрицательное число, оно находится на координатной прямой левее нуля. Следовательно, $0$ больше, чем $-5$.
$0 > -5$
Ответ: $0$.

б) Для сравнения чисел $7$ и $0$ воспользуемся правилом: любое положительное число больше нуля. Так как $7$ — положительное число, оно находится на координатной прямой правее нуля. Следовательно, $7$ больше, чем $0$.
$7 > 0$
Ответ: $7$.

в) Для сравнения чисел $0$ и $-3,2$ воспользуемся правилом: ноль больше любого отрицательного числа. Так как $-3,2$ — отрицательное число, оно находится на координатной прямой левее нуля. Следовательно, $0$ больше, чем $-3,2$.
$0 > -3,2$
Ответ: $0$.

г) Для сравнения чисел $\frac{1}{10}$ и $0$ воспользуемся правилом: любое положительное число больше нуля. Дробь $\frac{1}{10}$ является положительным числом (можно представить в виде десятичной дроби $0,1$). Так как $\frac{1}{10}$ — положительное число, оно находится на координатной прямой правее нуля. Следовательно, $\frac{1}{10}$ больше, чем $0$.
$\frac{1}{10} > 0$
Ответ: $\frac{1}{10}$.

4.95. Сравните числа, результат запишите в виде неравенства:

а) 3 и –4; б) –10 и 10; в) 8,9 и –9,8; г) –240 и 3,2.

4.95

а) 3 ˃ –4

б) –10 ˂ 10

в) 8,9 ˃ –9,8

г) –240 ˂ 3,2

а) Для сравнения чисел $3$ и $-4$ необходимо определить их знаки. Число $3$ является положительным, а число $-4$ — отрицательным. Согласно основному правилу сравнения рациональных чисел, любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, $3$ больше, чем $-4$.
Ответ: $3 > -4$.

б) Сравним числа $-10$ и $10$. Число $10$ — положительное, а число $-10$ — отрицательное. Положительное число всегда находится на числовой прямой правее, чем отрицательное, а значит, оно всегда больше. Следовательно, $10$ больше, чем $-10$. Запишем это в виде неравенства.
Ответ: $-10 < 10$.

в) Сравним числа $8,9$ и $-9,8$. В этой паре число $8,9$ является положительным, а число $-9,8$ — отрицательным. Независимо от абсолютных величин (модулей) этих чисел, положительное число всегда будет больше отрицательного. Значит, $8,9$ больше, чем $-9,8$.
Ответ: $8,9 > -9,8$.

г) Сравним числа $-240$ и $3,2$. Число $3,2$ — положительное, а число $-240$ — отрицательное. Как и в предыдущих примерах, положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, $3,2$ больше, чем $-240$.
Ответ: $-240 < 3,2$.

4.96. Какой знак, < или >, надо поставить вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство:

а) – 35 ? 17; б) – 215 ? 34 в) 3 ? – 23; г) – 225 ? 337?

4.96

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{3}{5} < \frac{1}{7} \\ \mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{2}{15} < \frac{2}{3} \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }3 > - \frac{2}{3} \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{2}{5} < 3\frac{3}{7} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить числа $-\frac{3}{5}$ и $\frac{1}{7}$, необходимо обратить внимание на их знаки. Число $-\frac{3}{5}$ является отрицательным, а число $\frac{1}{7}$ — положительным. Согласно правилу сравнения рациональных чисел, любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. На числовой прямой все отрицательные числа находятся левее нуля, а положительные — правее. Следовательно, $-\frac{3}{5}$ находится левее $\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{3}{5} < \frac{1}{7}$

б) В данном примере сравниваются числа $-\frac{2}{15}$ и $\frac{3}{4}$. Первое число является отрицательным, второе — положительным. По аналогии с предыдущим пунктом, любое отрицательное число меньше любого положительного. Таким образом, не производя вычислений и не приводя дроби к общему знаменателю, можно сразу сделать вывод о том, какой знак следует поставить.

Ответ: $-\frac{2}{15} < \frac{3}{4}$

в) Необходимо сравнить целое число $3$ и отрицательную дробь $-\frac{2}{3}$. Число $3$ является положительным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. На координатной прямой число $3$ расположено правее нуля, а число $-\frac{2}{3}$ — левее нуля. Число, расположенное правее, всегда больше.

Ответ: $3 > -\frac{2}{3}$

г) Сравниваем смешанные числа $-2\frac{2}{5}$ и $3\frac{3}{7}$. Первое число — отрицательное, а второе — положительное. Для сравнения чисел с разными знаками их модули (абсолютные величины) не имеют значения. Важен только знак. Так как отрицательное число всегда меньше положительного, то $-2\frac{2}{5}$ меньше, чем $3\frac{3}{7}$.

Ответ: $-2\frac{2}{5} < 3\frac{3}{7}$

4.97. Сравните числа, результат запишите в виде неравенства со знаком >:

а) –12 и –13; б) –46 и –41; в) –1 и –10; г) –240 и –239.

4.97

а) -12 > -13

б) -41 > -46

в) -1 > -10

г) -239 > -240

Чтобы сравнить два отрицательных числа, необходимо сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, у которого модуль меньше. Другими словами, на числовой прямой большее число всегда находится правее.

а) Сравним числа $-12$ и $-13$.

Найдем модули этих чисел: $|-12| = 12$ и $|-13| = 13$.

Сравним значения модулей: $12 < 13$.

Поскольку модуль числа $-12$ меньше модуля числа $-13$, то число $-12$ больше, чем $-13$. На числовой прямой $-12$ расположено правее $-13$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком $>$:

$-12 > -13$.

Ответ: $-12 > -13$

б) Сравним числа $-46$ и $-41$.

Найдем модули этих чисел: $|-46| = 46$ и $|-41| = 41$.

Сравним значения модулей: $41 < 46$.

Поскольку модуль числа $-41$ меньше модуля числа $-46$, то число $-41$ больше, чем $-46$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком $>$:

$-41 > -46$.

Ответ: $-41 > -46$

в) Сравним числа $-1$ и $-10$.

Найдем модули этих чисел: $|-1| = 1$ и $|-10| = 10$.

Сравним значения модулей: $1 < 10$.

Поскольку модуль числа $-1$ меньше модуля числа $-10$, то число $-1$ больше, чем $-10$. На числовой прямой $-1$ находится значительно правее $-10$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком $>$:

$-1 > -10$.

Ответ: $-1 > -10$

г) Сравним числа $-240$ и $-239$.

Найдем модули этих чисел: $|-240| = 240$ и $|-239| = 239$.

Сравним значения модулей: $239 < 240$.

Поскольку модуль числа $-239$ меньше модуля числа $-240$, то число $-239$ больше, чем $-240$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком $>$:

$-239 > -240$.

Ответ: $-239 > -240$

4.98. Сравните числа, результат запишите в виде неравенства со знаком <:

а) –4,5 и –5; б) –6,56 и –6,506; в) –2 и –1,9; г) –0,009 и –0,01.

4.98

а) -5 < -4,5

б) -6,56 < -6,506

в) -2 < -1,9

г) -0,01 < -0,009

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, и меньше то, у которого модуль больше. Другими словами, на числовой прямой меньшее число находится левее.

а) Сравним числа $-4,5$ и $-5$.

Найдём модули этих чисел:

$|-4,5| = 4,5$

$|-5| = 5$

Сравним их модули: $4,5 < 5$.

Так как модуль числа $-4,5$ меньше модуля числа $-5$, то число $-4,5$ больше числа $-5$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком <: $-5 < -4,5$.

Ответ: $-5 < -4,5$

б) Сравним числа $-6,56$ и $-6,506$.

Найдём модули этих чисел:

$|-6,56| = 6,56$

$|-6,506| = 6,506$

Чтобы сравнить десятичные дроби $6,56$ и $6,506$, уравняем количество знаков после запятой, дописав ноль к первому числу: $6,560$.

Сравним $6,560$ и $6,506$. Так как $560 > 506$, то $6,56 > 6,506$.

Так как модуль числа $-6,56$ больше модуля числа $-6,506$, то число $-6,56$ меньше числа $-6,506$.

Запишем результат в виде неравенства: $-6,56 < -6,506$.

Ответ: $-6,56 < -6,506$

в) Сравним числа $-2$ и $-1,9$.

Найдём модули этих чисел:

$|-2| = 2$

$|-1,9| = 1,9$

Сравним их модули: $2 > 1,9$.

Так как модуль числа $-2$ больше модуля числа $-1,9$, то число $-2$ меньше числа $-1,9$.

Запишем результат в виде неравенства: $-2 < -1,9$.

Ответ: $-2 < -1,9$

г) Сравним числа $-0,009$ и $-0,01$.

Найдём модули этих чисел:

$|-0,009| = 0,009$

$|-0,01| = 0,01$

Чтобы сравнить десятичные дроби $0,009$ и $0,01$, уравняем количество знаков после запятой: $0,01 = 0,010$.

Сравним $0,009$ и $0,010$. Так как $9 < 10$, то $0,009 < 0,010$.

Так как модуль числа $-0,009$ меньше модуля числа $-0,01$, то число $-0,009$ больше числа $-0,01$.

Запишем результат в виде неравенства со знаком <: $-0,01 < -0,009$.

Ответ: $-0,01 < -0,009$

4.99. Сравните числа, результат запишите в виде неравенства:

а) –856 и –9; б) – 23 и –1; в) – 76 и –1; г) –357 и –3.

4.99

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-8\frac{5}{6} > -9 \\ \mathit{б}\mathbf{)} - \frac{2}{3} > -1 \\ \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{7}{6} < -1 \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-3\frac{5}{7} < -3 \end{gathered}$$

а)

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сравним числа $-8\frac{5}{6}$ и $-9$.

Найдем их модули: $|-8\frac{5}{6}| = 8\frac{5}{6}$ и $|-9| = 9$.

Сравним модули: $8\frac{5}{6} < 9$.

Так как модуль числа $-8\frac{5}{6}$ меньше модуля числа $-9$, то само число $-8\frac{5}{6}$ больше, чем $-9$. На числовой оси точка $-8\frac{5}{6}$ расположена правее точки $-9$.

Результат в виде неравенства: $-8\frac{5}{6} > -9$.

Ответ: $-8\frac{5}{6} > -9$.

б)

Сравним числа $-\frac{2}{3}$ и $-1$.

Найдем их модули: $|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ и $|-1| = 1$.

Сравним модули: $\frac{2}{3} < 1$, так как это правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Поскольку модуль числа $-\frac{2}{3}$ меньше модуля числа $-1$, то $-\frac{2}{3}$ больше, чем $-1$.

Также можно представить $-1$ в виде дроби со знаменателем 3: $-1 = -\frac{3}{3}$. Сравнивая $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{3}$, видим, что $-2 > -3$, следовательно $-\frac{2}{3} > -\frac{3}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3} > -1$.

в)

Сравним числа $-\frac{7}{6}$ и $-1$.

Найдем их модули: $|-\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$ и $|-1| = 1$.

Представим $1$ в виде дроби со знаменателем 6: $1 = \frac{6}{6}$.

Сравним модули: $\frac{7}{6} > \frac{6}{6}$, то есть $\frac{7}{6} > 1$.

Так как модуль числа $-\frac{7}{6}$ больше модуля числа $-1$, то само число $-\frac{7}{6}$ меньше, чем $-1$.

Также можно выделить целую часть: $-\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}$. Очевидно, что $-1\frac{1}{6}$ находится левее $-1$ на числовой оси, значит, $-1\frac{1}{6} < -1$.

Ответ: $-\frac{7}{6} < -1$.

г)

Сравним числа $-3\frac{5}{7}$ и $-3$.

Найдем их модули: $|-3\frac{5}{7}| = 3\frac{5}{7}$ и $|-3| = 3$.

Сравним модули: $3\frac{5}{7} > 3$.

Так как модуль числа $-3\frac{5}{7}$ больше модуля числа $-3$, то само число $-3\frac{5}{7}$ меньше, чем $-3$. На числовой прямой точка $-3\frac{5}{7}$ находится левее точки $-3$.

Результат в виде неравенства: $-3\frac{5}{7} < -3$.

Ответ: $-3\frac{5}{7} < -3$.

4.100. Какой знак, < или >, надо поставить вместо знака вопроса, чтобы получилось верное неравенство:

а) –4,4 ? –4,5; б) –104,2 ? –101,5; в) – 227 ? – 412; г) –227 ? – 57; д) – 34 ? – 45; е) – 710 ? – 38 ж) – 56 ? – 1124; з) – 5514 ? – 5821?

4.100

$$\begin{gathered} \mathit{а}\mathbf{)} - 4,4 > - 4,5 \\ \mathit{б}\mathbf{)} -104,2 < -101,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }- 2\frac{2}{7} > -4\frac{1}{2} \\ \mathit{г}\mathbf{)}\mathbf{ }-2\frac{2}{7} < -\frac{5}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{д}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{3}{4}}^{\overline{)·5}} = - \frac{15}{20}, \\ {-\frac{4}{5}}^{\overline{)·4}} = - \frac{16}{20} \\ -\frac{3}{4} > -\frac{4}{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }{-\frac{7}{10}}^{\overline{)·4}} = -\frac{28}{40}, \\ {-\frac{3}{8}}^{\overline{)·5}} = - \frac{15}{40} \\ -\frac{7}{10} < -\frac{3}{8} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{ж}\mathbf{)} {- \frac{5}{6}}^{\overline{)·4}} = -\frac{20}{24}, - \frac{11}{24} \\ -\frac{20}{24} <- \frac{11}{24} \\ - \frac{5}{6} <- \frac{11}{24} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }-{5\frac{5}{14}}^{\overline{)·3}} = - 5\frac{15}{42}, \\ -{ 5 \frac{8}{21}}^{\overline{)·2}} = - 5\frac{16}{42} \\ - 5\frac{15}{42} >- 5\frac{16}{42} \\ -5\frac{5}{14} > - 5 \frac{8}{21} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше. Сравним модули чисел $-4,4$ и $-4,5$:
$|-4,4| = 4,4$
$|-4,5| = 4,5$
Так как $4,4 < 4,5$, то $-4,4 > -4,5$.
Ответ: $-4,4 > -4,5$

б) Сравниваем два отрицательных числа: $-104,2$ и $-101,5$. Сравним их модули:
$|-104,2| = 104,2$
$|-101,5| = 101,5$
Так как $104,2 > 101,5$, то число с большим модулем будет меньше. Следовательно, $-104,2 < -101,5$.
Ответ: $-104,2 < -101,5$

в) Сравниваем два отрицательных смешанных числа: $-2\frac{2}{7}$ и $-4\frac{1}{2}$. У этих чисел разные целые части. На числовой прямой число $-2\frac{2}{7}$ расположено правее, чем число $-4\frac{1}{2}$, так как $-2 > -4$.
Следовательно, $-2\frac{2}{7} > -4\frac{1}{2}$.
Ответ: $-2\frac{2}{7} > -4\frac{1}{2}$

г) Сравниваем отрицательное смешанное число $-2\frac{2}{7}$ и отрицательную правильную дробь $-\frac{5}{7}$. Число $-2\frac{2}{7}$ меньше $-2$. Число $-\frac{5}{7}$ находится в интервале от $-1$ до $0$. Любое число из интервала $(-1; 0)$ больше любого числа, которое меньше $-2$.
Следовательно, $-2\frac{2}{7} < -\frac{5}{7}$.
Ответ: $-2\frac{2}{7} < -\frac{5}{7}$

д) Чтобы сравнить две отрицательные дроби $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{4}{5}$, нужно привести их к общему знаменателю, а затем сравнить числители.
Общий знаменатель для 4 и 5 равен 20.
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{15}{20}$
$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{16}{20}$
Теперь сравним $-\frac{15}{20}$ и $-\frac{16}{20}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|\frac{-15}{20}| < |\frac{-16}{20}|$ (или $15 < 16$), то $-\frac{15}{20} > -\frac{16}{20}$.
Следовательно, $-\frac{3}{4} > -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{3}{4} > -\frac{4}{5}$

е) Сравниваем дроби $-\frac{7}{10}$ и $-\frac{3}{8}$. Приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 10 и 8 равно 40.
$-\frac{7}{10} = -\frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4} = -\frac{28}{40}$
$-\frac{3}{8} = -\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = -\frac{15}{40}$
Сравниваем $-\frac{28}{40}$ и $-\frac{15}{40}$. Так как $28 > 15$, то $|-\frac{28}{40}| > |-\frac{15}{40}|$. Для отрицательных чисел это означает, что $-\frac{28}{40} < -\frac{15}{40}$.
Следовательно, $-\frac{7}{10} < -\frac{3}{8}$.
Ответ: $-\frac{7}{10} < -\frac{3}{8}$

ж) Сравниваем дроби $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{11}{24}$. Приведем дробь $-\frac{5}{6}$ к знаменателю 24.
$-\frac{5}{6} = -\frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = -\frac{20}{24}$
Теперь сравним $-\frac{20}{24}$ и $-\frac{11}{24}$. Так как $20 > 11$, то $|-\frac{20}{24}| > |-\frac{11}{24}|$. Это означает, что $-\frac{20}{24} < -\frac{11}{24}$.
Следовательно, $-\frac{5}{6} < -\frac{11}{24}$.
Ответ: $-\frac{5}{6} < -\frac{11}{24}$

з) Сравниваем два отрицательных смешанных числа $-5\frac{5}{14}$ и $-5\frac{8}{21}$. Так как их целые части равны ($-5$), нужно сравнить их дробные части: $\frac{5}{14}$ и $\frac{8}{21}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 14 и 21 равно 42.
$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{15}{42}$
$\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$
Сравниваем дроби $\frac{15}{42}$ и $\frac{16}{42}$. Так как $15 < 16$, то $\frac{5}{14} < \frac{8}{21}$.
Для отрицательных чисел, чем больше модуль дробной части, тем меньше само число. Так как $\frac{5}{14} < \frac{8}{21}$, то $|-5\frac{5}{14}| < |-5\frac{8}{21}|$.
Следовательно, $-5\frac{5}{14} > -5\frac{8}{21}$.
Ответ: $-5\frac{5}{14} > -5\frac{8}{21}$

4.101. В виде двойного неравенства запишите, между какими соседними целыми числами на координатной прямой лежит число:

а) –5,249; б) –11,7; в) –0,99; г) 0,34; д) –259; е) –91417.

4.101

а) -6 < -5,249 < -5

б) -12 < -11,7 < -11

в) -1 < -0,99 < 0

г) 0 < 0,34 < 1

д) -3 < $-2\frac{5}{9}$< -2

е) -10 < $-9\frac{14}{17}$ < -9

а) Чтобы определить, между какими соседними целыми числами лежит число $-5,249$, посмотрим на его положение на координатной прямой. Так как число отрицательное, оно находится левее нуля. Целая часть по модулю равна 5. Это значит, что число находится между $-6$ и $-5$. Поскольку $-5,249$ меньше, чем $-5$, но больше, чем $-6$, мы можем записать следующее двойное неравенство.

Ответ: $-6 < -5,249 < -5$

б) Число $-11,7$ является отрицательным. На координатной прямой оно расположено левее целого числа $-11$. Следующее за ним слева целое число — это $-12$. Таким образом, число $-11,7$ находится в интервале между $-12$ и $-11$.

Ответ: $-12 < -11,7 < -11$

в) Число $-0,99$ — отрицательное. Оно больше $-1$ и меньше $0$. На координатной прямой оно находится очень близко к $0$, но слева от него. Ближайшие к нему целые числа — это $-1$ и $0$.

Ответ: $-1 < -0,99 < 0$

г) Число $0,34$ является положительным. Его целая часть равна $0$. Это означает, что число больше $0$, но меньше следующего целого числа, то есть $1$.

Ответ: $0 < 0,34 < 1$

д) Рассмотрим смешанное число $-2\frac{5}{9}$. Это отрицательное число, которое можно представить как $-2 - \frac{5}{9}$. На координатной прямой это число будет расположено левее $-2$. Ближайшее целое число слева — это $-3$, а справа — $-2$.

Ответ: $-3 < -2\frac{5}{9} < -2$

е) Число $-9\frac{14}{17}$ — отрицательное. Оно меньше, чем $-9$. На координатной прямой оно находится между целыми числами $-10$ и $-9$. Это потому, что оно больше $-10$ и меньше $-9$.

Ответ: $-10 < -9\frac{14}{17} < -9$

4.102. Сравните числа, если числа а и b – отрицательные, а числа d и с – положительные:

а) 0 и с; б) b и 0; в) –а и 0; г) 0 и –d; д) а и d; e) с и а; ж) –d и с; з) –а и b; и) |d| и d; к) –|d| и d; л) а и |а|; м) с и |– с|.

4.102

а) 0 < c

б) b < 0

в) –a > 0

г) 0 > -d

д) a < d

е) c > a

ж) –d < c

з) –a > b
и) |d| = d

к) -|d| < d

л) a < |a|

м) c = |-c|

а) 0 и c; По условию дано, что число $c$ — положительное, что математически записывается как $c > 0$. Любое положительное число всегда больше нуля. Следовательно, $0 < c$.
Ответ: $0 < c$.

б) b и 0; По условию дано, что число $b$ — отрицательное, то есть $b < 0$. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. Следовательно, $b < 0$.
Ответ: $b < 0$.

в) -a и 0; По условию число $a$ — отрицательное ($a < 0$). Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, то знак неравенства изменится на противоположный: $(-1) \cdot a > (-1) \cdot 0$, что дает нам $-a > 0$. Таким образом, число $-a$ является положительным и, следовательно, больше нуля.
Ответ: $-a > 0$.

г) 0 и -d; По условию число $d$ — положительное ($d > 0$). Умножим обе части этого неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства: $(-1) \cdot d < (-1) \cdot 0$, что дает $-d < 0$. Таким образом, число $-d$ является отрицательным и, следовательно, меньше нуля.
Ответ: $0 > -d$.

д) a и d; По условию число $a$ — отрицательное ($a < 0$), а число $d$ — положительное ($d > 0$). Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.
Ответ: $a < d$.

е) c и a; По условию число $c$ — положительное ($c > 0$), а число $a$ — отрицательное ($a < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
Ответ: $c > a$.

ж) -d и c; По условию $d$ и $c$ — положительные числа ($d > 0$, $c > 0$). Из $d > 0$ следует, что $-d$ — отрицательное число ($-d < 0$). Сравнивая отрицательное число $-d$ и положительное число $c$, мы заключаем, что отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $-d < c$.

з) -a и b; По условию $a$ и $b$ — отрицательные числа ($a < 0$, $b < 0$). Из $a < 0$ следует, что $-a$ — положительное число ($-a > 0$). Сравнивая положительное число $-a$ и отрицательное число $b$, мы заключаем, что положительное число всегда больше отрицательного.
Ответ: $-a > b$.

и) |d| и d; По условию $d$ — положительное число ($d > 0$). По определению, модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому этому числу. Следовательно, $|d| = d$.
Ответ: $|d| = d$.

к) -|d| и d; По условию $d$ — положительное число ($d > 0$). Модуль положительного числа $d$ равен $d$, то есть $|d| = d$. Тогда выражение $-|d|$ равно $-d$. Так как $d$ — положительное число, $-d$ — отрицательное. Сравнивая отрицательное число $-d$ и положительное число $d$, получаем, что $-|d| < d$.
Ответ: $-|d| < d$.

л) a и |a|; По условию $a$ — отрицательное число ($a < 0$). По определению, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, то есть $|a| = -a$. Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Мы сравниваем исходное отрицательное число $a$ и положительное число $|a|$. Отрицательное число всегда меньше положительного.
Ответ: $a < |a|$.

м) c и |-c|; По условию $c$ — положительное число ($c > 0$). Тогда $-c$ — отрицательное число. Модуль отрицательного числа $-c$ равен противоположному ему числу, то есть $|-c| = -(-c) = c$. Таким образом, мы сравниваем число $c$ с самим собой.
Ответ: $c = |-c|$.

4.103. Запишите в виде неравенства:

а) число 39,5 – положительное число;
б) число –7,9 – отрицательное число;
в) число m – отрицательное число;
г) число n – положительное число;
д) число х – неотрицательное число;
е) число у – неположительное число.

4.103

а) 39,5 > 0

б) -7,9 < 0

в) m < 0

г) n > 0

д) х ≥ 0

е) у ≤ 0

а) Положительное число — это число, которое строго больше нуля. Утверждение, что число 39,5 является положительным, означает, что оно больше нуля. В виде неравенства это записывается так: $39,5 > 0$.
Ответ: $39,5 > 0$

б) Отрицательное число — это число, которое строго меньше нуля. Утверждение, что число -7,9 является отрицательным, означает, что оно меньше нуля. В виде неравенства это записывается так: $-7,9 < 0$.
Ответ: $-7,9 < 0$

в) По аналогии с предыдущим пунктом, если число $m$ является отрицательным, это значит, что оно меньше нуля. В виде неравенства это записывается как: $m < 0$.
Ответ: $m < 0$

г) По аналогии с пунктом а), если число $n$ является положительным, это значит, что оно больше нуля. В виде неравенства это записывается как: $n > 0$.
Ответ: $n > 0$

д) Неотрицательное число — это число, которое не является отрицательным. Это означает, что число может быть либо положительным, либо равным нулю. Таким образом, оно больше или равно нулю. Для числа $x$ это записывается в виде нестрогого неравенства: $x \ge 0$.
Ответ: $x \ge 0$

е) Неположительное число — это число, которое не является положительным. Это означает, что число может быть либо отрицательным, либо равным нулю. Таким образом, оно меньше или равно нулю. Для числа $y$ это записывается в виде нестрогого неравенства: $y \le 0$.
Ответ: $y \le 0$