Страница 22, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.49. В бочке было 450 л воды. На полив огорода ушло 60 % этой воды. Сколько литров воды осталось в бочке?

1.49

$60\% = \frac{60}{100}= 0,6$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 450 · 0,6 = 270$(л) – воды ушло на полив;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 450 – 270 = 180$(л) – воды осталось в бочке.

Ответ: 180 л.

Для того чтобы найти, сколько литров воды осталось в бочке, можно решить задачу двумя способами.

Способ 1: Найти объем оставшейся воды через оставшийся процент

1. Изначальное количество воды в бочке, 450 литров, принимаем за 100%. Если на полив ушло 60% воды, то в бочке остался следующий процент от первоначального объема:

$100\% - 60\% = 40\%$

2. Теперь найдем, сколько литров составляют 40% от 450 литров. Для этого нужно общее количество воды умножить на дробь, соответствующую этому проценту.

$40\% = \frac{40}{100} = 0,4$

$450 \text{ л} \cdot 0,4 = 180 \text{ л}$

Способ 2: Найти объем израсходованной воды и вычесть его из общего объема

1. Сначала вычислим, сколько литров воды было израсходовано на полив. Для этого найдем 60% от 450 литров.

$60\% = \frac{60}{100} = 0,6$

$450 \text{ л} \cdot 0,6 = 270 \text{ л}$

2. Теперь вычтем из первоначального объема воды (450 л) объем израсходованной воды (270 л), чтобы найти, сколько воды осталось.

$450 \text{ л} - 270 \text{ л} = 180 \text{ л}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: в бочке осталось 180 литров воды.

1.50. За день в саду было собрано 2420 кг слив, из них 5 % отправили в детский санаторий, а остальные — на консервный завод. Найдите массу слив, отправленных на консервный завод.

1.50

$5\% = \frac{5}{100} = 0,05$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 2420 · 0,05 = 121$(кг) – отправили в детский санаторий;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }2420 – 121 = 2299$(кг) – отправили на консервный завод.

Ответ: 2299 кг.

Для нахождения массы слив, отправленных на консервный завод, можно пойти двумя путями.

Способ 1:

1. Сначала вычислим, какая масса слив составляет 5%, которые были отправлены в детский санаторий. Для этого общую массу умножим на долю, соответствующую проценту:

$5\% = \frac{5}{100} = 0.05$

$2420 \text{ кг} \times 0.05 = 121 \text{ кг}$

Таким образом, 121 кг слив отправили в детский санаторий.

2. Затем вычтем эту массу из общей массы собранных слив, чтобы найти массу, отправленную на консервный завод:

$2420 \text{ кг} - 121 \text{ кг} = 2299 \text{ кг}$

Способ 2:

1. Сначала определим, какой процент слив был отправлен на консервный завод. Если вся масса – это 100%, а в санаторий отправили 5%, то на завод ушла оставшаяся часть:

$100\% - 5\% = 95\%$

2. Теперь найдем, чему равна масса 95% от общего количества слив:

$95\% = \frac{95}{100} = 0.95$

$2420 \text{ кг} \times 0.95 = 2299 \text{ кг}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 2299 кг.

1.51. Оптовая цена книги 240 р., а розничная — на 28% больше. Чему равна розничная цена книги?

1.51

$\mathbf{1}\mathbf{)} 240 : 100 = 2,4$(р) – составляет 1%;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }100\% + 28\% = 128 \%$- розничная цена;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 2,4 · 128 = 307,2$(р) – розничная цена.

Ответ: 307,2 р.

Чтобы найти розничную цену книги, нужно увеличить оптовую цену на 28%.

Способ 1: Нахождение наценки и сложение

1. Сначала вычислим размер наценки, который составляет 28% от оптовой цены в 240 рублей. Для этого переведем проценты в десятичную дробь и умножим на оптовую цену:

$28\% = \frac{28}{100} = 0.28$

Сумма наценки: $240 \text{ р.} \cdot 0.28 = 67.2 \text{ р.}$

2. Теперь добавим полученную наценку к оптовой цене, чтобы найти розничную цену:

Розничная цена: $240 \text{ р.} + 67.2 \text{ р.} = 307.2 \text{ р.}$

Способ 2: Увеличение через коэффициент

Оптовая цена принимается за 100%. Розничная цена на 28% больше, значит, она составляет $100\% + 28\% = 128\%$ от оптовой.

Переведем 128% в десятичный коэффициент:

$128\% = \frac{128}{100} = 1.28$

Теперь умножим оптовую цену на этот коэффициент, чтобы сразу получить розничную цену:

Розничная цена: $240 \text{ р.} \cdot 1.28 = 307.2 \text{ р.}$

Ответ: розничная цена книги равна 307,2 р.

1.52. Квадрат на рисунке 1.3 разбит на 100 долей. Найдите площадь всего квадрата, если закрашено 20,25 см².

1.52

$\mathbf{1}\mathbf{)} 20,25 : 9 = 2,25 ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь одной доли;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2,25 · 100 = 225 ({\mathrm{см}}^2)$– площадь квадрата.

Ответ: $225 {\mathrm{см}}^2$

Для решения задачи необходимо найти общую площадь квадрата. Обозначим искомую площадь как $S_{общ}$.

По условию задачи, квадрат разделен на $100$ равных частей, которые назовем долями. Площадь закрашенной части, $S_{закр}$, составляет $20,25 \text{ см}^2$. Чтобы найти общую площадь, нужно установить связь между закрашенной площадью и общей площадью.

Хотя сам рисунок 1.3 не представлен, числовое значение площади $20,25 \text{ см}^2$ дает нам ключ к решению. В подобных задачах часто количество закрашенных долей численно совпадает с одним из данных. Логично предположить, что закрашенная область соответствует $20,25$ долям из $100$.

Исходя из этого, задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Вычисление площади одной доли.

Зная, что $20,25$ долей имеют площадь $20,25 \text{ см}^2$, мы можем вычислить площадь одной доли ($S_{доли}$):

$S_{доли} = \frac{S_{закр}}{\text{Количество закрашенных долей}} = \frac{20,25 \text{ см}^2}{20,25} = 1 \text{ см}^2$.

Весь квадрат состоит из $100$ таких равных долей. Следовательно, его общая площадь равна произведению площади одной доли на их общее количество:

$S_{общ} = S_{доли} \times 100 = 1 \text{ см}^2 \times 100 = 100 \text{ см}^2$.

Способ 2. Использование пропорции.

Площадь всего квадрата относится к площади закрашенной части так же, как общее количество долей относится к количеству закрашенных долей:

$\frac{S_{общ}}{S_{закр}} = \frac{100 \text{ долей}}{20,25 \text{ долей}}$

Выразим отсюда искомую общую площадь:

$S_{общ} = S_{закр} \times \frac{100}{20,25}$

Подставим известное значение $S_{закр} = 20,25 \text{ см}^2$:

$S_{общ} = 20,25 \text{ см}^2 \times \frac{100}{20,25} = 100 \text{ см}^2$.

Оба метода приводят к одинаковому результату.

Ответ: $100 \text{ см}^2$.

1.53. План двора (рис. 1.4) разбит на 100 равных частей. Закрашенная на плане часть двора площадью 80,52 м² отведена под клумбу и декоративные кустарники. Найдите площадь всего двора.

1.53

$\mathbf{1}\mathbf{)} 80,52 : 8 = 10,065 ({\mathrm{м}}^2)$– приходится на одну долю;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 10,065 · 100 = 1006,5 ({\mathrm{м}}^2)$– площадь двора.

Ответ: $1006,5 {\mathrm{м}}^2$

Согласно условию задачи, план двора на рисунке 1.4 разбит на 100 равных частей. Закрашенная часть, отведенная под клумбу и декоративные кустарники, имеет площадь 80,52 м².

1. Первым шагом определим, сколько равных частей (квадратов) закрашено на плане. Внимательно посмотрев на рисунок 1.4, можно посчитать, что закрашено 8 квадратов.

2. Мы знаем, что общая площадь этих 8 закрашенных квадратов составляет 80,52 м². Так как все части равны, мы можем найти площадь одной такой части, разделив общую площадь закрашенной области на количество закрашенных частей:
$S_{части} = \frac{80,52 \text{ м}^2}{8} = 10,065 \text{ м}^2$

3. Теперь, зная площадь одной из 100 равных частей двора, мы можем вычислить общую площадь всего двора. Для этого нужно умножить площадь одной части на их общее количество:
$S_{двора} = S_{части} \times 100 = 10,065 \text{ м}^2 \times 100 = 1006,5 \text{ м}^2$

Таким образом, площадь всего двора составляет 1006,5 квадратных метров.

Ответ: площадь всего двора равна 1006,5 м².

1.54. Сколько посетителей было на выставке робототехники, если 2 % всех посетителей составляют 8 человек?

1.54

Всего посетителей - ?, если 2% = 8.

$1) \frac{ 8 ·100}{2} = \frac{ 800}{2}=400$– всего посетителей.

Ответ: 400 посетителей.

Чтобы найти общее количество посетителей, зная, что определенный процент от этого количества равен известному числу, можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Нахождение целого через 1%

Сначала определим, сколько человек составляет 1% от всех посетителей. Если 2% — это 8 человек, то 1% будет в два раза меньше: $$ 8 \div 2 = 4 \text{ человека} $$ Теперь, зная, что 1% — это 4 человека, мы можем найти общее количество (100%). для этого умножим значение одного процента на 100: $$ 4 \cdot 100 = 400 \text{ человек} $$

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ — это общее количество посетителей, которое соответствует 100%. Мы знаем, что 8 человек соответствуют 2%. Составим пропорцию:

8 человек — 2%
$x$ человек — 100%

Из этой пропорции получаем следующее равенство: $$ \frac{8}{x} = \frac{2}{100} $$ Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (правилом «крест-накрест»): $$ 2 \cdot x = 8 \cdot 100 $$ $$ 2x = 800 $$ $$ x = \frac{800}{2} $$ $$ x = 400 \text{ человек} $$

Оба способа приводят к одному и тому же результату: всего на выставке было 400 посетителей.

Ответ: 400.

1.55. В 2014 г. в России прошли XXII зимние Олимпийские игры. Путешествие олимпийского огня по нашей стране было самым протяжённым за всю историю проведения Игр. Маршрут от Москвы до Санкт-Петербурга длиной 650 км — это лишь 1 % всего маршрута путешествия. Сколько километров составил весь маршрут путешествия олимпийского огня?

1.55

Весь маршрут - ?, если 1% = 650 км.

$1) \frac{650 ·100}{1} = 65 000$(км) – весь маршрут.

Ответ: 65 000 км.

В задаче говорится, что маршрут олимпийского огня от Москвы до Санкт-Петербурга имеет длину 650 км, что составляет 1% от общей длины всего путешествия. Необходимо найти полную протяженность маршрута.

Для нахождения целого (в данном случае, всей длины маршрута) по его известной части (проценту), можно воспользоваться несколькими способами.

1. Метод пропорции.
Пусть $X$ — это общая длина маршрута в километрах. Мы знаем, что 650 км — это 1%, а $X$ км — это 100%. Составим пропорцию:
$ \frac{650 \text{ км}}{1\%} = \frac{X \text{ км}}{100\%} $
Чтобы найти $X$, выразим его из пропорции:
$ X = \frac{650 \cdot 100}{1} = 65000 \text{ км} $

2. Нахождение числа по его проценту.
Если 1% от некоторого числа равен 650, то чтобы найти само число (100%), нужно значение этого одного процента умножить на 100.
$ 650 \text{ км} \times 100 = 65000 \text{ км} $

Таким образом, оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 65 000 км.

1.56. Площадь комнаты 18 м², и она составляет 40 % площади всей квартиры. Найдите площадь всей квартиры.

1.56

$1) \frac{18·100}{40}=\frac{18·{\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{100}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{40}}}}=\frac{{\displaystyle \stackrel{9}{\cancel{18}}}·5}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}=\frac{9·5}{1}=45 ({м}^2)$-площадь всей квартиры.

Ответ: $45 {\mathrm{м}}^2$.

1.56

Для решения этой задачи необходимо найти общую площадь квартиры, зная, что площадь одной из комнат составляет 18 м², и это соответствует 40% от всей площади. Обозначим искомую общую площадь квартиры как $S$.

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить число процентов на 100:

$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Теперь мы знаем, что 0.4 от общей площади $S$ равны 18 м². Это можно записать в виде уравнения:

$0.4 \cdot S = 18$

Чтобы найти $S$, нужно разделить 18 на 0.4:

$S = \frac{18}{0.4}$

Для удобства вычислений, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$S = \frac{18 \times 10}{0.4 \times 10} = \frac{180}{4}$

$S = 45$

Таким образом, общая площадь квартиры составляет 45 м².

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Если 18 м² — это 40%, то вся площадь $S$ — это 100%. Составим пропорцию:

$\frac{18}{S} = \frac{40}{100}$

Выразим $S$ из пропорции, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$S \cdot 40 = 18 \cdot 100$

$S = \frac{18 \times 100}{40} = \frac{1800}{40} = 45$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 45 м².

1.57. Путешественники проехали в первый день 210 км, что составляет 15 % намеченного пути. Какой длины намеченный путь?

1.57

$1) \frac{210·100}{15}= \frac{{\displaystyle \stackrel{14}{\cancel{210}}}·100}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{15}}}}=\frac{14·100}{1}= 1400$(км)-намеченный путь.

Ответ: 1400 км.

Данная задача относится к типу задач на нахождение целого по его части. Нам известно, что 210 км — это 15% от всего пути. Требуется найти весь путь, то есть 100%.

Решить задачу можно несколькими способами.

Способ 1: Через нахождение 1%

1. Сначала найдем, сколько километров составляет 1% от всего пути. Если 210 км — это 15%, то для нахождения 1% нужно разделить это расстояние на 15:

$210 \div 15 = 14$ (км)

Итак, 1% от всего намеченного пути равен 14 км.

2. Весь путь составляет 100%. Чтобы найти его общую длину, нужно значение 1% умножить на 100:

$14 \times 100 = 1400$ (км)

Способ 2: С помощью пропорции

Пусть $x$ — это длина всего намеченного пути в километрах. Тогда мы можем составить пропорцию, исходя из того, что $x$ км — это 100%, а 210 км — это 15%:

$210 \text{ км} - 15\%$

$x \text{ км} - 100\%$

Запишем отношение:

$\frac{210}{x} = \frac{15}{100}$

Теперь найдем $x$ из этой пропорции:

$x = \frac{210 \times 100}{15}$

$x = \frac{21000}{15}$

$x = 1400$ (км)

Оба способа показывают, что общая длина намеченного пути составляет 1400 км.

Ответ: длина намеченного пути равна 1400 км.

1.58. Пирожное содержит 14 % сахара. Сколько испекли пирожных, если для их приготовления израсходовали 21 кг сахара, а масса каждого пирожного 100 г?

1.58

$21 \mathrm{кг} = 21·1 000 = 21 000 \mathrm{гр}.$

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{14·100}{100}=\mathbf{ }\frac{14·{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{\cancel{\cancel{100}}}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{100}}}}=\mathbf{ }\frac{14·1}{1}=14$(гр)-сахара в 1 пирожном;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }21000 : 14 = 1500$(п) – всего испекли.

Ответ: 1500 пирожных.

Для того чтобы найти, сколько всего испекли пирожных, необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить массу сахара в одном пирожном.
По условию, масса одного пирожного равна 100 г, а содержание сахара в нем составляет 14%. Чтобы найти массу сахара, нужно вычислить 14% от 100 г. Для этого можно умножить массу пирожного на долю сахара, выраженную в виде десятичной дроби ($14\% = 0.14$).

Масса сахара в 1 пирожном = $100 \text{ г} \cdot \frac{14}{100} = 14 \text{ г}$.

Итак, в каждом пирожном содержится 14 граммов сахара.

2. Перевести общую массу сахара в граммы.
Общая масса израсходованного сахара дана в килограммах — 21 кг. Так как масса сахара в одном пирожном рассчитана в граммах, для удобства вычислений приведем общую массу сахара к той же единице измерения. В 1 килограмме содержится 1000 граммов.

Общая масса сахара = $21 \text{ кг} = 21 \cdot 1000 = 21000 \text{ г}$.

3. Найти общее количество испеченных пирожных.
Чтобы найти общее количество пирожных, нужно разделить общую массу израсходованного сахара на массу сахара, содержащуюся в одном пирожном.

Количество пирожных = $\frac{21000 \text{ г}}{14 \text{ г}} = 1500$.

Следовательно, всего было испечено 1500 пирожных.

Ответ: 1500.

1.59. Во время проведения акции цена на спортивные товары была снижена на 15%. Сколько стоили кроссовки во время акции, если их первоначальная цена была 1260 р.?

1.59

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{1260·15}{100} = \frac{{\displaystyle \stackrel{126}{\cancel{1260}}}·15}{{\displaystyle \underset{10}{\cancel{100}}}} =\frac{126·{\displaystyle \stackrel{3}{\cancel{15}}}}{{\displaystyle \underset{2}{\cancel{10}}}}=$

$=\frac{{\displaystyle \stackrel{63}{\cancel{126}}·3}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}=\frac{63·3}{1}=189$(р) – скидка;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1260 – 189 = 1071$(р) – стали стоить кроссовки.

Ответ: 1071 рубль.

Для того чтобы определить стоимость кроссовок во время акции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, какой процент от первоначальной цены составляет акционная цена.

Первоначальная цена составляет 100%. Цена была снижена на 15%. Следовательно, новая цена составляет:

$100\% - 15\% = 85\%$

Таким образом, цена кроссовок во время акции составляет 85% от их первоначальной стоимости.

2. Вычислить акционную цену в рублях.

Чтобы найти 85% от первоначальной цены (1260 р.), нужно умножить первоначальную цену на десятичное представление процента. Для этого переведем 85% в десятичную дробь:

$85\% = \frac{85}{100} = 0.85$

Теперь умножим первоначальную цену на полученное число:

$1260 \text{ р.} \times 0.85 = 1071 \text{ р.}$

Ответ: 1071 р.

1.60. На выставке современных технологий было представлено 650 экспонатов. Из них 130 — экспонаты робототехники. Сколько процентов всех экспонатов составляла робототехника?

1.60

$\frac{130}{650}·100\%=0,2·100\% = 20\%$-составила робототехника.

Ответ: 20%

Чтобы найти, сколько процентов всех экспонатов составляла робототехника, необходимо найти отношение количества экспонатов робототехники к общему числу экспонатов и выразить это отношение в процентах.

Общее количество экспонатов на выставке — 650. Это составляет 100%.

Количество экспонатов робототехники — 130.

Для нахождения процентного соотношения воспользуемся формулой:

$$ \text{Процент} = \frac{\text{часть}}{\text{целое}} \times 100\% $$

Подставим в формулу известные значения:

$$ \frac{130}{650} \times 100\% $$

Сначала вычислим отношение, сократив дробь:

$$ \frac{130}{650} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5} $$

Дробь $ \frac{1}{5} $ в десятичном виде равна $0.2$.

Теперь умножим полученное значение на 100%, чтобы перевести его в проценты:

$$ 0.2 \times 100\% = 20\% $$

Таким образом, экспонаты робототехники составляли 20% от всех экспонатов на выставке.

Ответ: 20%

1.61. В смеси сухофруктов 130 г изюма, 270 г кураги и 200 г яблок. Какой процент яблок в смеси?

1.61

$\mathbf{1}\mathbf{)} 130+270+200=600$(г)-всего сухофруктов;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{200}{600}·100\%=\frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{200}}}}{{\displaystyle \underset{3}{\cancel{600}}}}·100\%=$

$\frac{1}{3}·100\%=\frac{100}{3}\%=33\frac{1}{3}\%$ -яблок в смеси.

Ответ:$33\frac{1}{3}\%.$

Чтобы определить процентное содержание яблок в смеси, необходимо сначала найти общую массу всей смеси.

1. Найдем общую массу смеси, сложив массы всех ее ингредиентов:
Общая масса = масса изюма + масса кураги + масса яблок
$130 \text{ г} + 270 \text{ г} + 200 \text{ г} = 600 \text{ г}$.

2. Теперь, зная общую массу смеси и массу яблок, мы можем вычислить процентное содержание яблок. Для этого нужно массу яблок разделить на общую массу смеси и умножить результат на 100%.
Процент яблок = $\frac{\text{масса яблок}}{\text{общая масса смеси}} \cdot 100\%$
$\frac{200}{600} \cdot 100\% = \frac{2}{6} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\%$.

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{100}{3}\% = 33 \frac{1}{3}\%$.

Ответ: $33 \frac{1}{3}\%$.

1.62. Велосипедист проехал 6,5 км. Какой процент пути он проехал, если весь путь равен 10 км?

1.62

$\frac{6,5}{10}·100\%= \frac{650}{10}\%=65\%$-проехал.

Ответ: $65\%.$

Чтобы найти, какой процент от общего пути проехал велосипедист, нужно разделить расстояние, которое он проехал, на общую длину пути, а затем умножить полученный результат на 100%.

Дано:

• Пройденное расстояние (часть) = 6,5 км
• Весь путь (целое) = 10 км

Шаг 1: Найдем, какую долю составляет пройденный путь от всего пути. Для этого разделим часть на целое.

$ \frac{6,5}{10} = 0,65 $

Шаг 2: Переведем полученную долю в проценты. Для этого умножим ее на 100%.

$ 0,65 \times 100\% = 65\% $

Таким образом, велосипедист проехал 65% всего пути.

Ответ: 65%.

1.63. Ярослав запланировал прочитать 28 страниц повести, но она так понравилась мальчику, что он прочитал все 49 страниц повести сразу. Найдите, на сколько процентов он:

а) выполнил план; б) перевыполнил план.

1.63

$\mathbf{1}\mathbf{)} \frac{49}{28}·100\%=1,75·100\%=175\%$- прочитано;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 175 \% - 100 \% = 75 \%$- разница.

Ответ: $175 \%; 75\%.$

По условию задачи, Ярослав запланировал прочитать 28 страниц, а прочитал 49 страниц. За 100% мы принимаем количество страниц, которое он планировал прочитать, то есть 28 страниц.

а) выполнил план

Чтобы найти, на сколько процентов Ярослав выполнил план, нужно найти отношение количества фактически прочитанных страниц к запланированному количеству и выразить его в процентах. Для этого составим пропорцию или воспользуемся формулой:

$ \frac{\text{фактически прочитано}}{\text{запланировано}} \times 100\% $

Подставим значения:

$ \frac{49}{28} \times 100\% = 1,75 \times 100\% = 175\% $

Таким образом, Ярослав выполнил план на 175%.

Ответ: на 175%.

б) перевыполнил план

Чтобы найти, на сколько процентов Ярослав перевыполнил план, нужно сначала узнать, на сколько страниц больше плана он прочитал:

$ 49 - 28 = 21 $ страница

Теперь нужно найти, какой процент составляет эта разница (21 страница) от первоначального плана (28 страниц):

$ \frac{\text{прочитано сверх плана}}{\text{запланировано}} \times 100\% $

Подставим значения:

$ \frac{21}{28} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 0,75 \times 100\% = 75\% $

Также можно было вычесть из процента выполнения плана 100% (сам план):

$ 175\% - 100\% = 75\% $

Ответ: на 75%.

1.64. Сколько процентов сахара содержит раствор, приготовленный из 48 г сахара и 352 г воды?

1.64

$\mathbf{1}\mathbf{)} 352+48=400$-всего раствора;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{48}{400}·100\%=0,12·100\%=12\%$-сахара содержит раствор.

Ответ: $12\%.$

Для того чтобы определить процентное содержание сахара в растворе, необходимо найти отношение массы сахара к общей массе раствора и умножить полученное значение на 100%.

1. Сначала найдем общую массу раствора, которая складывается из массы сахара и массы воды.
Масса сахара: $m_{сахара} = 48$ г.
Масса воды: $m_{воды} = 352$ г.
Общая масса раствора: $m_{раствора} = m_{сахара} + m_{воды} = 48 + 352 = 400$ г.

2. Теперь рассчитаем процентное содержание сахара в полученном растворе.
$\text{Процент сахара} = \frac{m_{сахара}}{m_{раствора}} \times 100\%$.
Подставим наши значения в формулу:
$\frac{48}{400} \times 100\% = 0.12 \times 100\% = 12\%$.

Ответ: 12%.

4.79. Сколько краски потребуется для покраски конуса, если радиус его основания 2 см, развёртка боковой поверхности – сектор с прямым углом, а радиус сектора равен 15 см? Расход краски на 1 см² равен 2 г.

4.79

r = 2 см; r _{сектора} = 12 см; π ≈ 3,14; S = πr²; на 1 см² = 2 г.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathrm{S} = 3,14 · 2^2 = 3,14 · 4 = 12,56 ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь основания конуса;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ } {\mathrm{S}}_1 = \frac{3,14 · {15}^2 }{4} = \frac{3,14 · 225 }{4} = \frac{706,5}{4} = 176,625 ({\mathrm{см}}^2 )$ – площадь боковой поверхности конуса;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 12,56 + 176,625 = 189,185 ({\mathrm{см}}^2)$ – площадь поверхности конуса;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 189,635 · 2 = 378,37 (\mathrm{г})$ – краски потребуется

Ответ: 378,37 г краски.

Для решения задачи необходимо найти полную площадь поверхности конуса, которую нужно покрасить, и умножить ее на расход краски. Полная площадь поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади его основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания конуса.

Основание конуса — это круг. Радиус основания по условию равен $r = 2$ см. Площадь круга вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности конуса.

По условию, развёртка боковой поверхности представляет собой сектор круга с радиусом $R = 15$ см и центральным углом $\alpha = 90^\circ$. Радиус этого сектора является образующей конуса ($l = R = 15$ см). Площадь боковой поверхности конуса равна площади этого сектора.

Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (15 \text{ см})^2 = \frac{1}{4} \cdot 225\pi \text{ см}^2 = 56.25\pi$ см$^2$.

Замечание: Условия задачи противоречивы. Для того чтобы из сектора можно было свернуть конус с заданным радиусом основания, длина дуги сектора должна быть равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания: $C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$ см. Длина дуги сектора: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 15 = \frac{1}{4} \cdot 30\pi = 7.5\pi$ см. Так как $4\pi \neq 7.5\pi$, конус с такими параметрами не существует. Однако, для решения задачи мы исходим из того, что нужно покрасить две отдельные поверхности: основание с радиусом 2 см и боковую поверхность, заданную сектором.

3. Найдем полную площадь поверхности конуса.

Суммируем площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4\pi \text{ см}^2 + 56.25\pi \text{ см}^2 = 60.25\pi$ см$^2$.

4. Рассчитаем необходимое количество краски.

Расход краски составляет 2 г на 1 см$^2$. Чтобы найти общую массу краски, умножим полную площадь поверхности на расход:

Масса краски = $S_{полн} \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 60.25\pi \text{ см}^2 \cdot 2 \frac{\text{г}}{\text{см}^2} = 120.5\pi$ г.

Ответ: $120.5\pi$ г.

4.80. Чему равно а, если –а равно: –7,9; 5,4; – 14; 0; –978?

4.80

если -а = -7,9, то а = 7,9;

если -а = 5,4, то а = -5,4;

если -а = $-\frac{1}{4}$, то а = $\frac{1}{4}$;

если -а = 0, то а = 0;

если -а = $-9\frac{7}{8}$, то а = $9\frac{7}{8}$.

Чтобы найти a, если известно значение -a, необходимо найти число, противоположное данному. Операция нахождения противоположного числа эквивалентна умножению на -1, что приводит к изменению знака числа. Таким образом, если -a = x, то a = -x.

Если -a = -7,9

Находим число, противоположное -7,9. Для этого меняем его знак: $a = -(-7,9) = 7,9$.

Ответ: 7,9

Если -a = 5,4

Находим число, противоположное 5,4. Для этого меняем его знак: $a = -(5,4) = -5,4$.

Ответ: -5,4

Если -a = $-\frac{1}{4}$

Находим число, противоположное $-\frac{1}{4}$. Для этого меняем его знак: $a = -(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

Если -a = 0

Находим число, противоположное 0. Число 0 является противоположным самому себе: $a = -(0) = 0$.

Ответ: 0

Если -a = $-9\frac{7}{8}$

Находим число, противоположное $-9\frac{7}{8}$. Для этого меняем его знак: $a = -(-9\frac{7}{8}) = 9\frac{7}{8}$.

Ответ: $9\frac{7}{8}$

4.81. Найдите корень уравнения:
а) –а = –9,123; б) –z = 437.

4.81

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }-\mathrm{a}=-9,123; \\ \mathrm{a}=9,123. \\ \mathrm{Ответ}:9,123. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)} -\mathrm{z}=4 \frac{3}{7}; \\ \mathrm{z}=-4 \frac{3}{7}. \\ \mathrm{Ответ}: -4 \frac{3}{7}. \end{gathered}$$

а)

Дано уравнение: $-a = -9,123$.

Чтобы найти корень уравнения, то есть значение переменной $a$, необходимо избавиться от знака "минус" перед ней. Для этого умножим обе части уравнения на $-1$.

$(-1) \cdot (-a) = (-1) \cdot (-9,123)$

При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Следовательно:

$a = 9,123$

Для проверки можно подставить найденное значение $a$ в исходное уравнение: $-(9,123) = -9,123$. Равенство выполняется, значит корень найден верно.

Ответ: $a = 9,123$.

б)

Дано уравнение: $-z = 4\frac{3}{7}$.

Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти значение переменной $z$, умножим обе части уравнения на $-1$.

$(-1) \cdot (-z) = (-1) \cdot 4\frac{3}{7}$

В левой части получаем $z$. В правой части произведение положительного числа на отрицательное дает отрицательное число. Таким образом:

$z = -4\frac{3}{7}$

Проверка: подставим найденное значение $z$ в исходное уравнение: $-\left(-4\frac{3}{7}\right) = 4\frac{3}{7}$. Равенство выполняется, корень найден верно.

Ответ: $z = -4\frac{3}{7}$.

4.82. Коля собрал 2,4 кг крыжовника. Сколько килограммов крыжовника собрал Петя, если известно, что Коля собрал:

а) на 0,4 кг меньше Пети;
б) на 0,2 кг больше Пети;
в) в 3 раза больше Пети;
г) в 1,5 раза меньше Пети;
д) 34 того, что собрал Петя;
е) 56 того, что собрал Петя;
ж) 0,3 того, что собрал Петя;
з) 15 % того, что собрал Петя;
и) 120% того, что собрал Петя;
к) на 15 % больше Пети?

4.82

$\mathbf{а}\mathbf{)} 2,4 + 0,4 = 2,8 (\mathrm{кг})$ – собрал Петя;

$\mathbf{б}\mathbf{)} 2,4 – 0,2 = 2,2 (\mathrm{кг})$– собрал Петя;

$\mathbf{в}\mathbf{)}\mathbf{ }2,4 : 3 = 0,8 (\mathrm{кг})$ – собрал Петя;

$\mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }2,4 · 1,5 = 3,6 (\mathrm{кг})$– собрал Петя;

$\mathbf{д}\mathbf{)}\mathbf{ }2,4 : \frac{3}{4} = 2\frac{4}{10} : \frac{3}{4} =2\frac{2}{5} : \frac{3}{4} =\frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{12}}}}{5} · \frac{4}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}} =$

$= \frac{4}{5} · \frac{4}{1} = {\frac{16}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{32}{10} = 3,2 \left(\mathrm{кг}\right)$ – собрал Петя;

$\mathbf{е}\mathbf{)} 2,4 : \frac{5}{6} = 2\frac{4}{10} : \frac{5}{6} = 2\frac{2}{5} · \frac{6}{5} =$

$= \frac{12}{5} · \frac{6}{5} = \frac{72}{25} = \frac{288}{100} = 2,88 \left(\mathrm{кг}\right)$ – собрал Петя;

$\mathbf{ж}\mathbf{)} 2,4 : 0,3 = 24 : 3 = 8 (\mathrm{кг})$– собрал Петя;

$\mathit{з}\mathbf{)}\mathbf{ }15\% = 0,15$

$2,4 : 0,15 = 240 : 15 = 16 \left(\mathrm{кг}\right)$– собрал Петя;

$\mathbf{и}\mathbf{)}\mathbf{ }120\% = 1,2$

$2,4 : 1,2 = 24 : 12 = 2 \left(\mathrm{кг}\right)$– собрал Петя;

$\mathbf{к}\mathbf{)}\mathbf{ }1) 2,4 · 0,15 = 0,36 \left(\mathrm{кг}\right)$ – больше, чем собрал Петя;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }2,4 – 0,36 = 2,04 (\mathrm{кг})$– собрал Петя.

Пусть Петя собрал $P$ кг крыжовника. Известно, что Коля собрал 2,4 кг. Для каждого случая составим уравнение и найдем $P$.

а) Коля собрал на 0,4 кг меньше Пети. Это означает, что если к количеству крыжовника, собранного Колей, прибавить 0,4 кг, мы получим количество, собранное Петей.
Составим уравнение: $P = 2,4 + 0,4$.
$P = 2,8$ кг.
Ответ: Петя собрал 2,8 кг крыжовника.

б) Коля собрал на 0,2 кг больше Пети. Это означает, что если от количества крыжовника, собранного Колей, отнять 0,2 кг, мы получим количество, собранное Петей.
Составим уравнение: $P = 2,4 - 0,2$.
$P = 2,2$ кг.
Ответ: Петя собрал 2,2 кг крыжовника.

в) Коля собрал в 3 раза больше Пети. Это означает, что количество, собранное Петей, в 3 раза меньше, чем у Коли.
Составим уравнение: $3 \times P = 2,4$.
$P = 2,4 \div 3$.
$P = 0,8$ кг.
Ответ: Петя собрал 0,8 кг крыжовника.

г) Коля собрал в 1,5 раза меньше Пети. Это означает, что количество, собранное Петей, в 1,5 раза больше, чем у Коли.
Составим уравнение: $P \div 1,5 = 2,4$.
$P = 2,4 \times 1,5$.
$P = 3,6$ кг.
Ответ: Петя собрал 3,6 кг крыжовника.

д) Количество, собранное Колей, составляет $\frac{3}{4}$ от того, что собрал Петя. Чтобы найти целое по его части, нужно значение части разделить на дробь, выражающую эту часть.
Составим уравнение: $P \times \frac{3}{4} = 2,4$.
$P = 2,4 \div \frac{3}{4} = 2,4 \times \frac{4}{3} = \frac{2,4 \times 4}{3} = \frac{9,6}{3}$.
$P = 3,2$ кг.
Ответ: Петя собрал 3,2 кг крыжовника.

е) Количество, собранное Колей, составляет $\frac{5}{6}$ от того, что собрал Петя.
Составим уравнение: $P \times \frac{5}{6} = 2,4$.
$P = 2,4 \div \frac{5}{6} = 2,4 \times \frac{6}{5} = \frac{14,4}{5}$.
$P = 2,88$ кг.
Ответ: Петя собрал 2,88 кг крыжовника.

ж) Количество, собранное Колей, составляет 0,3 от того, что собрал Петя.
Составим уравнение: $P \times 0,3 = 2,4$.
$P = 2,4 \div 0,3$.
$P = 8$ кг.
Ответ: Петя собрал 8 кг крыжовника.

з) Количество, собранное Колей, составляет 15% от того, что собрал Петя. Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $15\% = 0,15$.
Составим уравнение: $P \times 0,15 = 2,4$.
$P = 2,4 \div 0,15 = 240 \div 15$.
$P = 16$ кг.
Ответ: Петя собрал 16 кг крыжовника.

и) Количество, собранное Колей, составляет 120% от того, что собрал Петя. Переведем проценты в десятичную дробь: $120\% = 1,2$.
Составим уравнение: $P \times 1,2 = 2,4$.
$P = 2,4 \div 1,2$.
$P = 2$ кг.
Ответ: Петя собрал 2 кг крыжовника.

к) Коля собрал на 15% больше Пети. Это значит, что количество, собранное Колей, составляет $100\% + 15\% = 115\%$ от того, что собрал Петя. Переведем проценты в десятичную дробь: $115\% = 1,15$.
Составим уравнение: $P \times 1,15 = 2,4$.
$P = 2,4 \div 1,15 = 240 \div 115 = \frac{240}{115} = \frac{48}{23}$.
$P = 2\frac{2}{23}$ кг.
Ответ: Петя собрал $2\frac{2}{23}$ кг крыжовника.

4.83. Вычислите значение выражения:

1) а3с + а2с, если а = 0,14 · 27 + 0,45 : 916 и с = 4,3 · 1,4 – 3,52;

2) у4х + у3х, если у = 2,2 · 811 + 0,16 : 316 и х = 14,14 – 1,9 · 5,6.

4.83

$\mathbf{1}\mathbf{)} {\frac{a}{3c}}^{\overline{)·2}} + {\frac{a}{2c}}^{\overline{)·3}} = \frac{2a}{6c} + \frac{3a}{6c} = \frac{2a + 3a}{6c} = \frac{5a}{6c}.$

$$\begin{gathered} а = 0,14 · \frac{2}{7} + 0,45 : \frac{9}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{\cancel{2}}{\bcancel{14}}}}{{\displaystyle \underset{25}{\cancel{100}}} } · \frac{\cancel{2}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{7}}}} + \\ + \frac{{\displaystyle \stackrel{5}{\bcancel{45}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\cancel{100}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\cancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{9}}}}=\frac{1}{25} · \frac{1}{1} + \frac{1}{5} · \frac{4}{1} = \frac{1}{25} + {\frac{4}{5}}^{\overline{)·5}} = \\ = \frac{1}{25} + \frac{20}{25} = {\frac{21}{25}}^{\overline{)·4}} = \frac{84}{100} = 0,84. \end{gathered}$$

$\mathrm{с} = 4,3 · 1,4 – 3,52 = 2,5$

$\frac{5а}{6c} = \frac{5 · 0,84}{6 · 2,5} = \frac{4,2}{15} = 0,28$

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{y}{4x}}^{\overline{)·3}} + {\frac{y}{3x}}^{\overline{)·4}} = \frac{3y}{12x} + \frac{4y}{12x} = \frac{7y}{12x}$

$$\begin{gathered} y = 2,2 · \frac{8}{11} + 0,6 : \frac{3}{16} = \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{22}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{4}{\bcancel{8}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{11}}}} + \frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{6}}}}{{\displaystyle \underset{5}{\bcancel{10}}}} · \frac{{\displaystyle \stackrel{8}{\bcancel{16}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{3}}}}= \\ = \frac{2}{5} · \frac{4}{1} + \frac{2}{5} · \frac{8}{1} = \frac{8}{5} + \frac{16}{5} = {\frac{24}{5}}^{\overline{)·2}} = \frac{48}{10} = 4,8 \end{gathered}$$

$х = 14,14 – 1,9 · 5,6 = 14,14 – 10,64 = 3,5$

$\frac{7y}{12y} = \frac{7 · 4,8}{12 · 3,5} = \frac{33,6}{42} = \frac{5,6}{7} = 0,8.$

1) Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a}{3c} + \frac{a}{2c} = \frac{2 \cdot a}{2 \cdot 3c} + \frac{3 \cdot a}{3 \cdot 2c} = \frac{2a}{6c} + \frac{3a}{6c} = \frac{2a+3a}{6c} = \frac{5a}{6c} $

Теперь вычислим значения переменных a и c.

Вычислим значение a:

$ a = 0,14 \cdot \frac{2}{7} + 0,45 : \frac{9}{16} $

Выполним действия по порядку:

1. $ 0,14 \cdot \frac{2}{7} = \frac{14}{100} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 2}{100 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{100} = \frac{4}{100} = 0,04 $

2. $ 0,45 : \frac{9}{16} = \frac{45}{100} \cdot \frac{16}{9} = \frac{45 \cdot 16}{100 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 16}{100} = \frac{80}{100} = 0,8 $

3. $ a = 0,04 + 0,8 = 0,84 $

Вычислим значение c:

$ c = 4,3 \cdot 1,4 - 3,52 $

1. $ 4,3 \cdot 1,4 = 6,02 $

2. $ c = 6,02 - 3,52 = 2,5 $

Теперь подставим найденные значения a = 0,84 и c = 2,5 в упрощенное выражение:

$ \frac{5a}{6c} = \frac{5 \cdot 0,84}{6 \cdot 2,5} = \frac{4,2}{15} $

Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{4,2 \cdot 10}{15 \cdot 10} = \frac{42}{150} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$ \frac{42 : 6}{150 : 6} = \frac{7}{25} = 0,28 $

Ответ: 0,28

2) Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{y}{4x} + \frac{y}{3x} = \frac{3 \cdot y}{3 \cdot 4x} + \frac{4 \cdot y}{4 \cdot 3x} = \frac{3y}{12x} + \frac{4y}{12x} = \frac{3y+4y}{12x} = \frac{7y}{12x} $

Теперь вычислим значения переменных y и x.

Вычислим значение y:

$ y = 2,2 \cdot \frac{8}{11} + 0,6 : \frac{3}{16} $

Выполним действия по порядку:

1. $ 2,2 \cdot \frac{8}{11} = \frac{22}{10} \cdot \frac{8}{11} = \frac{22 \cdot 8}{10 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 8}{10} = \frac{16}{10} = 1,6 $

2. $ 0,6 : \frac{3}{16} = \frac{6}{10} \cdot \frac{16}{3} = \frac{6 \cdot 16}{10 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 16}{10} = \frac{32}{10} = 3,2 $

3. $ y = 1,6 + 3,2 = 4,8 $

Вычислим значение x:

$ x = 14,14 - 1,9 \cdot 5,6 $

1. $ 1,9 \cdot 5,6 = 10,64 $

2. $ x = 14,14 - 10,64 = 3,5 $

Теперь подставим найденные значения y = 4,8 и x = 3,5 в упрощенное выражение:

$ \frac{7y}{12x} = \frac{7 \cdot 4,8}{12 \cdot 3,5} = \frac{33,6}{42} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ 33,6 : 42 = 0,8 $

Ответ: 0,8

4.84. Отметьте на координатной прямой числа, у которых модули равны 7, 5, 0, 414, 312, 7, 4,9.

4.84

Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной. Обозначается как $|x|$.

Если модуль числа $x$ равен некоторому положительному числу $a$, то есть $|x| = a$, то это означает, что на координатной прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно $a$. Эти точки: $x = a$ и $x = -a$.

Если модуль числа равен нулю, $|x| = 0$, то такая точка только одна — это само начало координат, $x = 0$.

Найдем числа, которые соответствуют каждому из заданных модулей.

7
Ищем числа $x$, для которых $|x| = 7$. Такими числами являются 7 и -7, так как обе эти точки удалены от нуля на 7 единичных отрезков.
Ответ: 7; -7.

5
Ищем числа $x$, для которых $|x| = 5$. Такими числами являются 5 и -5.
Ответ: 5; -5.

0
Ищем число $x$, для которого $|x| = 0$. Таким числом является только 0.
Ответ: 0.

$4\frac{1}{4}$
Ищем числа $x$, для которых $|x| = 4\frac{1}{4}$. Такими числами являются $4\frac{1}{4}$ и $-4\frac{1}{4}$. Для удобства можно представить их в виде десятичных дробей: 4,25 и -4,25.
Ответ: $4\frac{1}{4}$; $-4\frac{1}{4}$.

$3\frac{1}{2}$
Ищем числа $x$, для которых $|x| = 3\frac{1}{2}$. Такими числами являются $3\frac{1}{2}$ и $-3\frac{1}{2}$. В виде десятичных дробей это 3,5 и -3,5.
Ответ: $3\frac{1}{2}$; $-3\frac{1}{2}$.

7
Данное значение модуля уже рассматривалось. Числа, модуль которых равен 7, это 7 и -7.
Ответ: 7; -7.

4,9
Ищем числа $x$, для которых $|x| = 4,9$. Такими числами являются 4,9 и -4,9.
Ответ: 4,9; -4,9.

Отметка чисел на координатной прямой
Теперь соберем все найденные уникальные числа и отметим их на координатной прямой. Полный список чисел: $-7; -5; -4,9; -4\frac{1}{4}; -3\frac{1}{2}; 0; 3\frac{1}{2}; 4\frac{1}{4}; 4,9; 5; 7$.

На рисунке выше показана координатная прямая, на которой отмечены все найденные числа. Каждое число обозначено точкой и подписано. Обратите внимание, что для каждого положительного модуля $a$ на прямой отмечены две симметричные относительно нуля точки: $a$ и $-a$.

4.85. Сравните модули чисел:

а) –39,8 и 9,98; б) –49,8 и 31,9; в) 93,1 и –41,5; г) –21,4 и –21,3; д) –437 и 5311; е) З47 и –617; ж) – 37 и 15; з) 79 и – 34.

4.85

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)}\mathbf{ }|-39,8| > |9,98|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ |-39,8| = 39,8 \mathrm{и} |9,98| = 9,98 \\ 39,8 > 9,98 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }|-49,8| > |31,9|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ |-49,8| = 49,8 \mathrm{и} |31,9| = 31,9 \\ 49,8 > 31,9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} |93,1| > |-41,5|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ |93,1| = 93,1 \mathrm{и} |-41,5| = 41,5 \\ 93,1 > 41,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{г}\mathbf{)}\mathbf{ }|-21,4| > |-21,3|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ |-21,4| = 21,4 \mathrm{и} |-21,3| = 21,3 \\ 21,4 > 21,3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} \left|-4\frac{3}{7}\right| < \left|5\frac{3}{11}\right|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ \left|-4\frac{3}{7}\right| = 4\frac{3}{7} \mathrm{и} \left|5\frac{3}{11}\right|=5\frac{3}{11} \\ 4\frac{3}{7} < 5\frac{3}{11} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{е}\mathbf{)} \left|3\frac{4}{7}\right| < \left|-6\frac{1}{7}\right|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ \left|3\frac{4}{7}\right| = 3\frac{4}{7} \mathrm{и} \left|-6\frac{1}{7}\right| = 6\frac{1}{7} \\ 3\frac{4}{7} < 6\frac{1}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ж}\mathbf{)} \left|-\frac{3}{7}\right| > \left|\frac{1}{5}\right|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ \left|-\frac{3}{7}\right| = {\frac{3}{7}}^{\overline{)·5}} = \frac{15}{35} \mathrm{и} \left|\frac{1}{5}\right| = {\frac{1}{5}}^{\overline{)·7}} = \frac{7}{35} \\ \frac{15}{35} > \frac{7}{35} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{з}\mathbf{)} \left|\frac{7}{9}\right| > \left|-\frac{3}{4}\right|, \mathrm{т}.\mathrm{к}. \\ \left|\frac{7}{9}\right| = \frac{7}{9} = \frac{28}{36} \mathrm{и} \left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} = \frac{27}{36} \\ \frac{28}{36} > \frac{27}{36} \end{gathered}$$

а) Чтобы сравнить модули чисел $-39,8$ и $9,98$, сначала найдем их модули. Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой, он всегда неотрицателен. Модуль числа $-39,8$ равен $|-39,8| = 39,8$. Модуль числа $9,98$ равен $|9,98| = 9,98$. Теперь сравним полученные значения: $39,8 > 9,98$. Следовательно, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|-39,8| > |9,98|$.

б) Сравним модули чисел $-49,8$ и $31,9$. Находим их модули: $|-49,8| = 49,8$ и $|31,9| = 31,9$. Сравниваем полученные значения: $49,8 > 31,9$. Таким образом, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|-49,8| > |31,9|$.

в) Сравним модули чисел $93,1$ и $-41,5$. Находим их модули: $|93,1| = 93,1$ и $|-41,5| = 41,5$. Сравниваем полученные значения: $93,1 > 41,5$. Таким образом, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|93,1| > |-41,5|$.

г) Сравним модули чисел $-21,4$ и $-21,3$. Находим их модули: $|-21,4| = 21,4$ и $|-21,3| = 21,3$. Сравниваем полученные значения: $21,4 > 21,3$. Таким образом, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|-21,4| > |-21,3|$.

д) Сравним модули чисел $-4\frac{3}{7}$ и $5\frac{3}{11}$. Находим их модули: $|-4\frac{3}{7}| = 4\frac{3}{7}$ и $|5\frac{3}{11}| = 5\frac{3}{11}$. Для сравнения смешанных чисел сначала сравниваем их целые части. Так как $4 < 5$, то $4\frac{3}{7} < 5\frac{3}{11}$. Следовательно, модуль первого числа меньше модуля второго. Ответ: $|-4\frac{3}{7}| < |5\frac{3}{11}|$.

е) Сравним модули чисел $3\frac{4}{7}$ и $-6\frac{1}{7}$. Находим их модули: $|3\frac{4}{7}| = 3\frac{4}{7}$ и $|-6\frac{1}{7}| = 6\frac{1}{7}$. Сравниваем целые части смешанных чисел. Так как $3 < 6$, то $3\frac{4}{7} < 6\frac{1}{7}$. Следовательно, модуль первого числа меньше модуля второго. Ответ: $|3\frac{4}{7}| < |-6\frac{1}{7}|$.

ж) Сравним модули чисел $-\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{5}$. Находим их модули: $|-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$ и $|\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{1}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 это 35. Получаем: $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35}$ и $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7}{35}$. Так как $15 > 7$, то $\frac{15}{35} > \frac{7}{35}$, а значит $\frac{3}{7} > \frac{1}{5}$. Таким образом, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|-\frac{3}{7}| > |\frac{1}{5}|$.

з) Сравним модули чисел $\frac{7}{9}$ и $-\frac{3}{4}$. Находим их модули: $|\frac{7}{9}| = \frac{7}{9}$ и $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 4 это 36. Получаем: $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$ и $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$. Так как $28 > 27$, то $\frac{28}{36} > \frac{27}{36}$, а значит $\frac{7}{9} > \frac{3}{4}$. Таким образом, модуль первого числа больше модуля второго. Ответ: $|\frac{7}{9}| > |-\frac{3}{4}|$.