Страница 15, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

Вопросы:

Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?

Как найти среднюю скорость движения?

Приведите примеры средних арифметических величин.

Вопросы на странице 15

• Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
• Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно:
  1) найти сумму этих чисел
  2) разделить найденную сумму на количество чисел
  
  
• Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно:
  1) найти все пройденное расстояние
  2) разделить найденное расстояние на время, которое было затрачено на этот путь
  
• Средняя урожайность; средний рост учеников класса; средний балл по математике.
  

Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Средним арифметическим нескольких чисел называют результат, который получается при делении суммы этих чисел на их количество. Это число представляет собой «центральное» или «типичное» значение для данного набора чисел. Если бы все числа в наборе были одинаковыми, они все были бы равны своему среднему арифметическому.

Ответ: Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?

Чтобы найти среднее арифметическое, нужно выполнить два простых действия:

1. Сначала нужно сложить все числа, для которых вы хотите найти среднее.
2. Затем полученную сумму необходимо разделить на количество этих чисел.

Формула для нахождения среднего арифметического $M$ для набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выглядит так:

$M = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Например, найдем среднее арифметическое для чисел 5, 9, 11 и 15.

Сумма чисел: $5 + 9 + 11 + 15 = 40$.
Количество чисел: 4.
Среднее арифметическое: $40 \div 4 = 10$.

Ответ: Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество.

Как найти среднюю скорость движения?

Средняя скорость движения — это величина, которая показывает, какой путь в среднем проходит объект за единицу времени. Для нахождения средней скорости необходимо знать весь пройденный путь и всё время, затраченное на этот путь. Важно понимать, что средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей на разных участках пути (за исключением случая, когда отрезки времени движения с этими скоростями равны).

Формула для нахождения средней скорости $v_{ср}$:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Здесь $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

Например, если автомобиль проехал 150 км за 2 часа, а затем еще 100 км за 3 часа, то:

Весь путь $S_{общ} = 150 \text{ км} + 100 \text{ км} = 250 \text{ км}$.
Всё время $t_{общ} = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.
Средняя скорость $v_{ср} = \frac{250 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на всё время движения.

Приведите примеры средних арифметических величин.

Среднее арифметическое широко используется в различных сферах жизни для анализа данных и получения обобщенных характеристик. Вот несколько примеров:

• Средняя оценка ученика: сумма всех оценок за период, деленная на их количество.
• Средняя температура месяца: сумма среднесуточных температур, деленная на количество дней в месяце.
• Средняя урожайность: общий урожай, собранный с нескольких полей, деленный на общую площадь этих полей.
• Средняя заработная плата: общий фонд заработной платы предприятия, деленный на число сотрудников.
• Средний рост или вес группы людей: сумма ростов (или весов) всех людей в группе, деленная на их количество.

Ответ: Примерами средних арифметических величин являются средняя школьная оценка, средняя температура, средняя зарплата, средняя урожайность.

1.1. Отметьте на координатной прямой числа 4 и 12. Найдите их среднее арифметическое и тоже отметьте его на координатной прямой. Какое предположение можно сделать?

1.1

(4 + 12) : 2 = 8 - среднее арифметическое.

Среднее арифметическое двух чисел, на координатной прямой, является срединой отрезка, образованная этими двумя числами.

Ответ:8.

Отметьте на координатной прямой числа 4 и 12. Найдите их среднее арифметическое и тоже отметьте его на координатной прямой.

Для выполнения этого задания сначала вычислим среднее арифметическое чисел 4 и 12. Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на два.

$ \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 $

Теперь начертим координатную прямую и отметим на ней точки, соответствующие числам 4, 12, а также их среднему арифметическому 8. На представленной ниже координатной прямой исходные числа 4 и 12 отмечены красными точками, а их среднее арифметическое 8 — синей точкой.

Ответ: Среднее арифметическое чисел 4 и 12 равно 8. Все три числа отмечены на координатной прямой, как показано на рисунке выше.

Какое предположение можно сделать?

Глядя на координатную прямую, можно заметить, что точка, соответствующая среднему арифметическому (число 8), расположена ровно посередине между точками, соответствующими исходным числам (4 и 12).

Чтобы убедиться в этом, найдем расстояние от точки 8 до точек 4 и 12:

• Расстояние между точками 8 и 4: $ 8 - 4 = 4 $
• Расстояние между точками 12 и 8: $ 12 - 8 = 4 $

Поскольку эти расстояния равны, точка 8 является серединой отрезка с концами в точках 4 и 12.

Ответ: Можно сделать предположение, что среднее арифметическое двух чисел на координатной прямой соответствует координате середины отрезка, концами которого являются точки, соответствующие этим двум числам.

1.2. На рисунке 1.1 отрезки NM и NK равны. Найдите координату точки М. Найдите среднее арифметическое координат точек М и К.

1.2

NM = NK; NK = 12,2 - 11,5 = 0,7.

11,5 - 0,7 = 10, 8 - координата точки M

M(10,8)

Так как NM = NK, то среднее арифметическое точек M и N будет середина этого отрезка, равная 11,5.

Ответ: M(10,8); 11,5.

Найдите координату точки M.

Из условия задачи известно, что отрезки $NM$ и $NK$ равны. Это означает, что точка $N$ является серединой отрезка $MK$. Координаты точек $N$ и $K$ даны на рисунке: $N(11,5)$ и $K(12,2)$.

1. Сначала найдем длину отрезка $NK$. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов.

$NK = |12,2 - 11,5| = 0,7$.

2. Поскольку по условию $NM = NK$, то длина отрезка $NM$ также равна $0,7$.

3. Точка $M$ на координатной прямой расположена левее точки $N$, поэтому ее координата будет меньше координаты точки $N$. Чтобы найти координату точки $M$, необходимо из координаты точки $N$ вычесть длину отрезка $NM$.

Координата точки $M$ = $11,5 - 0,7 = 10,8$.

Ответ: $10,8$.

Найдите среднее арифметическое координат точек M и K.

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на два. Нам нужно найти среднее арифметическое координат точек $M(10,8)$ и $K(12,2)$.

1. Сложим координаты точек $M$ и $K$.

$10,8 + 12,2 = 23$.

2. Разделим полученную сумму на 2.

$\frac{23}{2} = 11,5$.

Таким образом, среднее арифметическое координат точек $M$ и $K$ равно $11,5$. Можно заметить, что это значение совпадает с координатой точки $N$, что логично, так как $N$ — середина отрезка $MK$.

Ответ: $11,5$.

1.3. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 83,4 и 84,5;
б) 0,2; 0,3 и 0,4;
в) 2,23; 2,26; 2,34 и 2,07;
г) 6,276; 5,864; 7,223; 9,106; 8,728 и 3,003.

1.3

$\mathrm{а})(83,4\stackrel{1}{+}84,5)\stackrel{2}{:}2=83,95$- среднее арифметическое

1.

2.

$\mathrm{б})(0,2+0,3+0,4):3=0,3$- среднее арифметическое

$0,2+0,3+0,4=0,9$

$0,9:3=0,3$

$\mathrm{в}) (2,23\stackrel{1}{+}2,26\stackrel{2}{+}2,34\stackrel{3}{+}2,07)\stackrel{4}{:}4=2,225$- среднее арифметическое

1.	2.
3.	4.

$\mathrm{г}\left)\right(6,276\stackrel{1}{+}5,864\stackrel{2}{+}7,223\stackrel{3}{+}9,106\stackrel{4}{+}8,728\stackrel{5}{+}3,003)\stackrel{6}{:}6=6,7$-среднее арифметическое

1.	2.
3.	4.
5.	6.

а) Среднее арифметическое чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество. В данном случае у нас два числа: 83,4 и 84,5.
1. Найдем сумму чисел: $83,4 + 84,5 = 167,9$.
2. Разделим сумму на количество чисел (на 2): $167,9 / 2 = 83,95$.
Расчет одной формулой: $(83,4 + 84,5) / 2 = 167,9 / 2 = 83,95$.
Ответ: 83,95

б) В данном случае у нас три числа: 0,2; 0,3 и 0,4.
1. Найдем сумму чисел: $0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9$.
2. Разделим сумму на количество чисел (на 3): $0,9 / 3 = 0,3$.
Расчет одной формулой: $(0,2 + 0,3 + 0,4) / 3 = 0,9 / 3 = 0,3$.
Ответ: 0,3

в) В данном случае у нас четыре числа: 2,23; 2,26; 2,34 и 2,07.
1. Найдем сумму чисел: $2,23 + 2,26 + 2,34 + 2,07 = 8,9$.
2. Разделим сумму на количество чисел (на 4): $8,9 / 4 = 2,225$.
Расчет одной формулой: $(2,23 + 2,26 + 2,34 + 2,07) / 4 = 8,9 / 4 = 2,225$.
Ответ: 2,225

г) В данном случае у нас шесть чисел: 6,276; 5,864; 7,223; 9,106; 8,728 и 3,003.
1. Найдем сумму чисел: $6,276 + 5,864 + 7,223 + 9,106 + 8,728 + 3,003 = 40,2$.
2. Разделим сумму на количество чисел (на 6): $40,2 / 6 = 6,7$.
Расчет одной формулой: $(6,276 + 5,864 + 7,223 + 9,106 + 8,728 + 3,003) / 6 = 40,2 / 6 = 6,7$.
Ответ: 6,7

1.4. В течение недели ноября ежедневно в 12 часов дня школьники записывали следующие показания термометра: 4,1; 3,8; 4,1; 4,2; 4,1; 4,0; 3,9 градусов тепла. Найдите среднюю температуру за эту неделю в 12 ч дня.

1.4

$1) (4,1+3,8+4,1+4,2+4,1+4,0+3,9):7;$

Применим сочетательный закон сложения:

$\left(\right(4,1+3,9)+(3,8+4,2)+(4,1+4,1)+4,0):7=$

$=(8,0+8,0+8,2+4,0):7=(16,0+12,2):7\approx$

$\approx 28,2:7=4(\mathrm{ост}.2)\approx 4℃$-средняя температура за неделю

Ответ: $4℃$

Для того чтобы найти среднюю температуру за неделю, необходимо вычислить среднее арифметическое всех записанных показаний. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в наборе, деленная на их количество.

В условии даны следующие 7 показаний температуры:

4,1; 3,8; 4,1; 4,2; 4,1; 4,0; 3,9 градусов.

1. Сначала найдем сумму всех показаний температуры. Для этого сложим все данные значения:

$S = 4,1 + 3,8 + 4,1 + 4,2 + 4,1 + 4,0 + 3,9$

Сумма всех показаний равна $28,2$.

2. Теперь, чтобы найти среднюю температуру, разделим полученную сумму на количество дней в неделе, то есть на 7. Обозначим среднюю температуру как $T_{ср}$.

$T_{ср} = \frac{\text{Сумма всех показаний}}{\text{Количество показаний}} = \frac{28,2}{7}$

Выполним деление:

$28,2 \div 7 \approx 4,02857...$

Поскольку в результате деления получается бесконечная десятичная дробь, для практического ответа значение следует округлить. Округлим результат до сотых.

$T_{ср} \approx 4,03$

Таким образом, средняя температура за эту неделю в 12 часов дня составляет приблизительно 4,03 градуса тепла.

Ответ: $\approx 4,03$ градуса тепла.

1.5. У ученика за четверть по литературе стоят следующие оценки: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4. Найдите среднюю оценку ученика за четверть.

1.5

$1) (5+3+4+4+5+5+4+3+5+4):10 =$

$=42:10=4,2\approx 4$- средняя оценка за четверть.

Ответ:4.

Чтобы найти среднюю оценку ученика за четверть, необходимо вычислить среднее арифметическое его оценок. Для этого нужно сложить все оценки и разделить полученную сумму на их количество.

Перечень оценок ученика по литературе: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 5, 4.

1. Посчитаем общее количество оценок. Всего в ряду $10$ оценок.

2. Найдем сумму всех оценок. Для этого сложим все числа в ряду:

$5 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 5 + 4 = 42$

3. Разделим сумму оценок на их количество, чтобы найти среднюю оценку:

$\frac{42}{10} = 4.2$

Таким образом, средняя оценка ученика за четверть составляет 4,2.

Ответ: 4,2.

1.6. Чему равно среднее арифметическое чисел 42,43; 42,39; 42,64 и 42,57? Округлите его до сотых.

1.6

$(42,43+42,39+42,64+42,57):4=42,5075\approx 42,51$- среднее арифметическое

Ответ: 42,51.

Для того чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа и разделить полученную сумму на их количество.

1. Находим сумму данных чисел

Сложим все предоставленные в задаче числа: 42,43; 42,39; 42,64 и 42,57.

$42,43 + 42,39 + 42,64 + 42,57 = 170,03$

2. Находим среднее арифметическое

Всего дано 4 числа. Чтобы найти среднее арифметическое, разделим их сумму на их количество:

$\frac{170,03}{4} = 42,5075$

3. Округляем результат до сотых

В условии задачи требуется округлить полученное значение до сотых. Сотый разряд — это вторая цифра после запятой. Чтобы выполнить округление, смотрим на следующую цифру (в разряде тысячных).

В числе $42,5075$ цифра в разряде тысячных — это 7.

По правилам округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Так как $7 \ge 5$, мы увеличиваем цифру в разряде сотых (0) на 1.

$42,5075 \approx 42,51$

Ответ: 42,51

1.7. Пешеход шёл 2 ч со скоростью 5,2 км/ч, 2 ч со скоростью 4,8 км/ч и 1 ч со скоростью 4,5 км/ч. Чему равна средняя скорость пешехода на всём пути?

1.7

Средняя скорость пешехода-?

$\mathbf{1}\mathbf{)} 5,2·2=10,4$(км) – пройденный путь за первые два часа;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 4,8·2=9,6$(км) – пройденный путь за вторые два часа;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 4,5·1=4,5$(км) – пройденный путь за последний час;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 10, 4+9,6+4,5=24,5$(км) – весь пройденный путь;

$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }2+2+1=5$(ч) – время, затраченное на весь путь;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 24,5:5=4,9$(км/ч) – средняя скорость.

Ответ: 4,9 км/ч.

Средняя скорость движения вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на этот путь. Формула для вычисления средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий путь, а $t_{общ}$ — общее время в пути.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти общее время движения, найти общий пройденный путь и, наконец, рассчитать среднюю скорость.

1. Нахождение общего времени движения ($t_{общ}$)

Время движения на каждом участке известно из условия:

• Первый участок: $t_1 = 2$ ч
• Второй участок: $t_2 = 2$ ч
• Третий участок: $t_3 = 1$ ч

Суммируем время движения на всех участках, чтобы найти общее время:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Нахождение общего пройденного пути ($S_{общ}$)

Пройденный путь на каждом участке рассчитывается по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.

Путь на первом участке:

$S_1 = 5,2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 10,4 \text{ км}$

Путь на втором участке:

$S_2 = 4,8 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 9,6 \text{ км}$

Путь на третьем участке:

$S_3 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4,5 \text{ км}$

Теперь находим общий путь, суммируя пути на всех участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 10,4 \text{ км} + 9,6 \text{ км} + 4,5 \text{ км} = 24,5 \text{ км}$

3. Расчет средней скорости пешехода ($v_{ср}$)

Используя найденные значения общего пути и общего времени, вычисляем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{24,5 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,9 \text{ км/ч}$

Ответ: средняя скорость пешехода на всём пути равна 4,9 км/ч.

1.8. Экскурсионный теплоход двигался 4,3 ч по озеру со скоростью 106,4 м/мин, затем 2,5 ч по реке со скоростью 24 км/ч, наконец, 1,2 ч по заливу со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость движения теплохода на всём пути.

1.8

Переведем все в одну единицу измерения: 1час = 60 мин., 1 км = 1000м.

$106,4 \mathrm{м}/\mathrm{мин}=\frac{106,4·60}{1000}\mathrm{км}/\mathrm{ч}=\frac{6384}{1000}\mathrm{км}/\mathrm{ч}=6,384\mathrm{км}/\mathrm{ч}$

$\mathbf{1}\mathbf{)} 4,3·6,38=27,4512$(км) – путь, пройденный теплоходом по озеру;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 2,5·24=60$(км) - путь, пройденный теплоходом по реке;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 1,2·10=12$(км) - путь, пройденный теплоходом по заливу;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 27,4512+60+12=99,4512$(км) – весь пройденный путь теплохода;

$\mathbf{5}\mathbf{)} 4,3+2,5+1,2=8$(ч) - время, затраченное на весь путь;

$\mathbf{6}\mathbf{)} 99,4512:8=12,4314$(км/ч) – средняя скорость теплохода.

Ответ: $12,4313\mathrm{км}/\mathrm{ч}.$

Для того чтобы найти среднюю скорость движения теплохода, необходимо общий пройденный путь разделить на общее время, затраченное на этот путь. Средняя скорость ($v_{ср}$) вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий пройденный путь, а $t_{общ}$ — это общее время в пути. Решение задачи состоит из нескольких этапов.

1. Нахождение общего времени движения

Путь теплохода состоял из трёх участков. Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом из этих участков:

$t_1 = 4,3$ ч (по озеру)

$t_2 = 2,5$ ч (по реке)

$t_3 = 1,2$ ч (по заливу)

Сложим эти значения:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 4,3 \text{ ч} + 2,5 \text{ ч} + 1,2 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

2. Нахождение общего пройденного пути

Общий путь $S_{общ}$ равен сумме расстояний, пройденных на каждом из трёх участков. Расстояние для каждого участка вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Для правильного расчета необходимо привести все единицы скорости к одной системе, например, к км/ч.

Участок 1: движение по озеру

Время движения $t_1 = 4,3$ ч. Скорость $v_1 = 106,4$ м/мин.

Переведем скорость из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч). В одном километре 1000 метров, а в одном часе 60 минут.

$v_1 = 106,4 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 106,4 \cdot \frac{1/1000 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 106,4 \cdot \frac{60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 106,4 \cdot 0,06 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6,384 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем расстояние, пройденное на первом участке:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 6,384 \text{ км/ч} \cdot 4,3 \text{ ч} = 27,4512 \text{ км}$

Участок 2: движение по реке

Время движения $t_2 = 2,5$ ч. Скорость $v_2 = 24$ км/ч. Единицы измерения уже согласованы.

Рассчитаем расстояние, пройденное на втором участке:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 24 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Участок 3: движение по заливу

Время движения $t_3 = 1,2$ ч. Скорость $v_3 = 10$ км/ч. Единицы измерения также согласованы.

Рассчитаем расстояние, пройденное на третьем участке:

$S_3 = v_3 \cdot t_3 = 10 \text{ км/ч} \cdot 1,2 \text{ ч} = 12 \text{ км}$

Теперь можно найти общий пройденный путь, сложив расстояния всех трёх участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 27,4512 \text{ км} + 60 \text{ км} + 12 \text{ км} = 99,4512 \text{ км}$

3. Расчет средней скорости движения

Используя найденные значения общего пути и общего времени, рассчитаем среднюю скорость теплохода на всём пути:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{99,4512 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = 12,4314 \text{ км/ч}$

Ответ: 12,4314 км/ч.

1.9. Черепаха бежала 5 мин со скоростью 70,2 м/мин и 2 мин со скоростью 106,4 м/мин. Найдите среднюю скорость черепахи на пройденном за это время пути.

1.9

Средняя скорость черепахи - ?

$\mathbf{1}\mathbf{)} (70, 2\stackrel{1}{·}5\left)\stackrel{3}{+}\right(106,4\stackrel{2}{·}2)=351+212,8=$

$= 563,8$(км) – весь пройденный путь черепахи;

1.	2.
3.

$\mathbf{2}\mathbf{)} 5+2=7$(мин) – время, затраченное на весь путь;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 563,8:7=563\frac{8}{10}:\frac{1}{7}=\frac{5638}{10}·\frac{1}{7}=\frac{{\displaystyle \stackrel{2819}{\cancel{5638}}}}{{\displaystyle \underset{35}{\cancel{70}}}}=$

$=\frac{2819}{35}=80\frac{19}{35}$(м/мин) – средняя скорость черепахи.

Ответ:$80\frac{19}{35}$м/мин.

Средняя скорость движения вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на этот путь. Формула для расчета средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Для решения задачи нам необходимо последовательно найти общий путь и общее время движения черепахи.

1. Найдем общий путь, пройденный черепахой.

Путь состоит из двух участков. Сначала вычислим расстояние, пройденное на каждом из них.

Расстояние, пройденное за первые 5 минут со скоростью 70,2 м/мин:

$S_1 = v_1 \times t_1 = 70,2 \text{ м/мин} \times 5 \text{ мин} = 351 \text{ м}$

Расстояние, пройденное за следующие 2 минуты со скоростью 106,4 м/мин:

$S_2 = v_2 \times t_2 = 106,4 \text{ м/мин} \times 2 \text{ мин} = 212,8 \text{ м}$

Теперь сложим эти два расстояния, чтобы найти общий путь $S_{общ}$:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 351 \text{ м} + 212,8 \text{ м} = 563,8 \text{ м}$

2. Найдем общее время движения.

Общее время $t_{общ}$ — это сумма времени движения на двух участках:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = 5 \text{ мин} + 2 \text{ мин} = 7 \text{ мин}$

3. Вычислим среднюю скорость черепахи.

Теперь, когда известен общий путь и общее время, мы можем найти среднюю скорость, разделив общий путь на общее время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{563,8 \text{ м}}{7 \text{ мин}}$

Выполним деление:

$\frac{563,8}{7} = 80,5428... \text{ м/мин}$

Чтобы получить точный ответ, представим это частное в виде обыкновенной дроби, а затем в виде смешанного числа:

$\frac{563,8}{7} = \frac{5638}{70} = \frac{2819}{35} = 80 \frac{19}{35}$

Таким образом, точная средняя скорость черепахи на всём пути составляет $80 \frac{19}{35}$ м/мин.

Ответ: $80 \frac{19}{35}$ м/мин.

1.10. На первом поле вырастили 5264 ц помидоров, а на втором — 5425 ц. Найдите урожайность помидоров на каждом из этих полей и найдите среднюю урожайность на двух этих полях, если площадь первого поля равна 29 га, а второго — 33 га. Округлите результат до сотен. Предложите другой способ решения этой задачи.

1.10

Урожайность на каждом поле - ?

Средняя урожайность на полях - ?

1 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }5264:29=181\frac{15}{29}$(ц/га) – урожайность помидоров на 1 поле;

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }5425:33=164\frac{13}{33}$(ц/га) – урожайность помидоров на 2 поле;

$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\left(181\frac{15}{29}+164\frac{13}{33}\right)\mathbf{:}2\approx \left(181,51+164,39\right):2\approx$

$\approx 172,945\approx 172,95$(ц/га) – средняя урожайность помидоров.

Ответ: 172,95 (ц/га).

2 способ:

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }5264 + 5425 = 10 689$(ц) – весь урожай;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 29 + 33 = 62$(га) – общая площадь полей;

$\mathbf{3}\mathbf{)} 10 689 : 62 \approx 172,40$(ц/га) – средняя урожайность помидоров.

Ответ: 172,40 (ц/га).

Урожайность помидоров на каждом поле
Урожайность — это отношение массы собранного урожая к площади, с которой он был собран. Формула для расчета урожайности (У): $У = \frac{Масса\ урожая\ (М)}{Площадь\ (П)}$.
1. Для первого поля:
Масса урожая $М_1 = 5264$ центнера (ц).
Площадь поля $П_1 = 29$ гектаров (га).
Урожайность $У_1 = \frac{5264 \text{ ц}}{29 \text{ га}} \approx 181.5172...$ ц/га.
Округляя результат до сотых, получаем $181.52$ ц/га.
2. Для второго поля:
Масса урожая $М_2 = 5425$ ц.
Площадь поля $П_2 = 33$ га.
Урожайность $У_2 = \frac{5425 \text{ ц}}{33 \text{ га}} \approx 164.3939...$ ц/га.
Округляя результат до сотых, получаем $164.39$ ц/га.
Ответ: урожайность на первом поле составляет примерно 181.52 ц/га, на втором — 164.39 ц/га.

Средняя урожайность на двух полях
Чтобы найти среднюю урожайность для двух полей, необходимо общую массу собранного урожая разделить на общую площадь этих полей. Это является основным способом решения.
1. Найдем общую массу урожая ($М_{общ}$):
$М_{общ} = М_1 + М_2 = 5264 + 5425 = 10689$ ц.
2. Найдем общую площадь полей ($П_{общ}$):
$П_{общ} = П_1 + П_2 = 29 + 33 = 62$ га.
3. Найдем среднюю урожайность ($У_{ср}$):
$У_{ср} = \frac{М_{общ}}{П_{общ}} = \frac{10689 \text{ ц}}{62 \text{ га}} \approx 172.4032...$ ц/га.
Округляя результат до сотых, получаем $172.40$ ц/га.
Ответ: средняя урожайность на двух полях составляет примерно 172.40 ц/га.

Другой способ решения
Альтернативный способ нахождения средней урожайности заключается в вычислении средневзвешенного значения урожайности каждого поля. В этом случае "весами" для каждой урожайности выступают площади соответствующих полей. Этот способ является другой формулировкой первого, но помогает лучше понять суть средней урожайности для разных по площади участков.
Формула для средневзвешенной урожайности:
$У_{ср} = \frac{У_1 \cdot П_1 + У_2 \cdot П_2}{П_1 + П_2}$
Так как произведение урожайности на площадь дает массу урожая ($У_1 \cdot П_1 = М_1$ и $У_2 \cdot П_2 = М_2$), формула эквивалентна первому способу.
$У_{ср} = \frac{(\frac{5264}{29} \cdot 29) + (\frac{5425}{33} \cdot 33)}{29 + 33} = \frac{5264 + 5425}{62} = \frac{10689}{62} \approx 172.4032...$ ц/га.
Округленный до сотых результат также равен $172.40$ ц/га.
Ответ: среднюю урожайность можно вычислить как средневзвешенное значение урожайности полей, где весами служат их площади. Результат совпадает с первым способом и равен 172.40 ц/га.

1.11. Первое число равно 7. Чему равно второе число, если среднее арифметическое двух чисел равно 5,3?

1.11

Пусть х – второе число, первое число – 7. Зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 5, 3, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} (7+х):2=5,3; \\ 7+х=5,3\stackrel{1}{·}2; \\ 7+х=10,6; \\ х=10,6\stackrel{2}{–}7; \end{gathered}$$

$х=3,6$- второе число.

1.

2.

Ответ: 3,6.

1.11

Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, деленная на их количество (в данном случае на 2).

Обозначим первое число как $a$, а второе, неизвестное число, как $x$.
По условию задачи:
$a = 7$
Среднее арифметическое равно $5,3$.

Составим уравнение на основе определения среднего арифметического:
$\frac{a + x}{2} = 5,3$

Подставим известное значение $a = 7$ в уравнение:
$\frac{7 + x}{2} = 5,3$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала найдем сумму чисел ($7+x$), умножив обе части уравнения на 2:
$7 + x = 5,3 \times 2$
$7 + x = 10,6$

Чтобы найти $x$, вычтем 7 из обеих частей уравнения:
$x = 10,6 - 7$
$x = 3,6$

Таким образом, второе число равно 3,6.
Проверка: $\frac{7 + 3,6}{2} = \frac{10,6}{2} = 5,3$. Решение верное.

Ответ: 3,6

Вопросы:

Как называют числа, отличающиеся только знаками?

Как записывают число, противоположное числу m?

Какое число противоположно нулю?

Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа?

Какие числа называются целыми?

Как иначе можно назвать натуральные числа?

25. Противоположные числа

Вопросы к параграфу

• Два числа, отличающиеся только знаками, называют противоположными числами.

• Число, противоположное числу m, записывают –m

• Число 0 противоположно самому себе.

• Числа, имеющего два противоположных числа, не существует.

• Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и нуль называют целыми числами.

• Натуральные числа можно назвать положительными целыми числами.

Как называют числа, отличающиеся только знаками? Числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки, называются противоположными. Например, числа 5 и -5 являются противоположными. Они расположены на числовой оси на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.
Ответ: Противоположные числа.

Как записывают число, противоположное числу m? Для того чтобы записать число, которое является противоположным числу $m$, перед $m$ ставится знак «минус». Такая запись выглядит как $-m$. Например, для числа 8 противоположным будет число $-8$, а для числа $-3$ противоположным будет $-(-3)$, то есть 3.
Ответ: $-m$.

Какое число противоположно нулю? Число, противоположное нулю, — это сам нуль. Согласно правилу, число, противоположное $m$, записывается как $-m$. Если подставить $m=0$, получим $-0$, что равно 0. Таким образом, нуль является противоположным самому себе.
Ответ: 0.

Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа? Нет, такого числа не существует. Для каждого числа существует только одно противоположное ему число. Для любого ненулевого числа $a$ противоположным является число $-a$, и они различны ($a \neq -a$). Для числа 0 противоположным является само число 0. В любом случае, у каждого числа есть ровно одно противоположное ему число.
Ответ: Нет, не существует.

Какие числа называются целыми? Целыми числами называют объединение трех множеств чисел: натуральных чисел (используемых при счете: 1, 2, 3 и так далее), чисел, противоположных натуральным (-1, -2, -3 и так далее), и числа ноль. Множество целых чисел обозначается как $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Ответ: Натуральные числа, им противоположные числа и число 0.

Как иначе можно назвать натуральные числа? Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета (1, 2, 3, ...). В рамках множества целых чисел, которое также включает ноль и отрицательные числа, натуральные числа можно назвать иначе. Поскольку все они больше нуля, их также называют положительными целыми числами.
Ответ: Положительные целые числа.