Страница 27, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2. Сравните:

а) 20 % от 100 и 5 % от 1000;

б) 50 % от 300 000 и 150 % от 20 000;

в) 10 % от 5,6 и 0,1 % от 560.

2.

$\mathit{а}\mathbf{)} \frac{20 \%}{100 \%}· 100 = 0,2· 100 = 20$– составляют 20% от 100

$\frac{5 \%}{100 \%}· 1000 = 0,05· 1000 = 50$ – составляют 5% от 1000.

т.к. 20 < 50, то 20% от 100 меньше, чем 5% от 1000

$\mathit{б}\mathbf{)} \frac{50 \%}{100 \%}· 300 000 = 0,5 · 300 000 = 150 000$– составляют 50% от 300 000

$\frac{150 \%}{100\%}· 20 000 = 1,5 · 20 000 = 30 000$– составляют 150% от 20 000.

т.к. 150 000 > 30 000, то 50% от 300 000 больше, чем 150% от 20 000.

$\mathit{в}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{10 \%}{100 \%}· 5,6 = 0,1 · 5,6 = 0,56$– составляют 10% от 5,6

$\frac{0,1 \%}{100 \%}· 560 = 0,001 · 560 = 0,56$– составляет 0,1% от 560.

т.к. 0,56 = 0,56, то 10% от 5,6 равно 0,1% от 560.

Для решения задачи необходимо вычислить значения каждого выражения и затем сравнить их. Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделив на 100) и умножить на это число.

а) Сравним 20% от 100 и 5% от 1000.

Вычислим первое значение: 20% от 100.
$ 20\% = \frac{20}{100} = 0,2 $
$ 0,2 \cdot 100 = 20 $

Вычислим второе значение: 5% от 1000.
$ 5\% = \frac{5}{100} = 0,05 $
$ 0,05 \cdot 1000 = 50 $

Теперь сравним полученные результаты:
$ 20 < 50 $
Следовательно, 20% от 100 меньше, чем 5% от 1000.

Ответ: 20% от 100 < 5% от 1000.

б) Сравним 50% от 300 000 и 150% от 20 000.

Вычислим первое значение: 50% от 300 000.
$ 50\% = \frac{50}{100} = 0,5 $
$ 0,5 \cdot 300000 = 150000 $

Вычислим второе значение: 150% от 20 000.
$ 150\% = \frac{150}{100} = 1,5 $
$ 1,5 \cdot 20000 = 30000 $

Теперь сравним полученные результаты:
$ 150000 > 30000 $
Следовательно, 50% от 300 000 больше, чем 150% от 20 000.

Ответ: 50% от 300 000 > 150% от 20 000.

в) Сравним 10% от 5,6 и 0,1% от 560.

Вычислим первое значение: 10% от 5,6.
$ 10\% = \frac{10}{100} = 0,1 $
$ 0,1 \cdot 5,6 = 0,56 $

Вычислим второе значение: 0,1% от 560.
$ 0,1\% = \frac{0,1}{100} = 0,001 $
$ 0,001 \cdot 560 = 0,56 $

Теперь сравним полученные результаты:
$ 0,56 = 0,56 $
Следовательно, 10% от 5,6 равно 0,1% от 560.

Ответ: 10% от 5,6 = 0,1% от 560.

3. Найдите число, если:

а) 23 % его равны 138;

б) 0,17 % его равны 5,1;

в) 5,6 % его равны 28;

г) * 43 % его равны 2121.

3.

$\mathit{а}\mathbf{)} 23\% = 138.$

$\frac{23\% }{100\%} = 0,23$

$138 : 0,23 = 13800 : 23 = 600;$

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }0,17\% = 5,1$

$\frac{0,17\% }{100\%} = 0,0017$

$5,1 : 0,0017 = 51 000 : 17 = 3 000;$

$\mathit{в}\mathbf{)} 5,6 \% = 28$

$\frac{5,6\%}{100\%}=0,056$

$28 : 0,056 = 28000 : 56 = 500;$

$\mathit{г}\mathbf{)} 43 \% = 2\frac{1}{21}$

$\frac{43\%}{100\%}=0,43$

$2\frac{1}{21} : 0,43 =\frac{43}{21} : \frac{43}{100} = \frac{{\displaystyle \stackrel{1}{\cancel{43}}}}{21} · \frac{100}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{43}}}} =\frac{100}{21} = 4\frac{16}{21}.$

а)

Чтобы найти число по его проценту, нужно известную часть (число) разделить на соответствующую ей долю (процент) и умножить на 100. Пусть искомое число — это $x$. По условию задачи, 23% от числа $x$ равны 138. Это можно записать в виде пропорции:

$x$ — 100%
138 — 23%

Из пропорции находим $x$: $x = \frac{138 \cdot 100}{23}$

Выполним деление: $138 \div 23 = 6$.

Теперь умножим результат на 100: $x = 6 \cdot 100 = 600$.

Таким образом, искомое число равно 600.

Ответ: 600.

б)

Пусть искомое число — это $x$. По условию, 0,17% от этого числа равны 5,1. Переведем проценты в десятичную дробь: $0,17\% = \frac{0,17}{100} = 0,0017$. Теперь можно составить уравнение: $x \cdot 0,0017 = 5,1$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить 5,1 на 0,0017: $x = \frac{5,1}{0,0017}$.

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10000: $x = \frac{5,1 \cdot 10000}{0,0017 \cdot 10000} = \frac{51000}{17}$.

Выполним деление: $x = 3000$.

Искомое число равно 3000.

Ответ: 3000.

в)

Пусть искомое число — это $x$. Нам известно, что 5,6% от $x$ равны 28. Запишем 5,6% в виде десятичной дроби: $5,6\% = \frac{5,6}{100} = 0,056$. Составим уравнение: $x \cdot 0,056 = 28$.

Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{28}{0,056}$.

Умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы работать с целыми числами: $x = \frac{28 \cdot 1000}{0,056 \cdot 1000} = \frac{28000}{56}$.

Сократим дробь, зная, что $56 = 28 \cdot 2$: $x = \frac{28000}{28 \cdot 2} = \frac{1000}{2} = 500$.

Итак, искомое число равно 500.

Ответ: 500.

г)*

Пусть искомое число — это $x$. По условию, 43% от $x$ равны $2\frac{1}{21}$. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{21} = \frac{2 \cdot 21 + 1}{21} = \frac{43}{21}$.

Проценты также представим в виде обыкновенной дроби: $43\% = \frac{43}{100}$. Составим уравнение: $x \cdot \frac{43}{100} = \frac{43}{21}$.

Чтобы найти $x$, разделим правую часть уравнения на коэффициент при $x$: $x = \frac{43}{21} \div \frac{43}{100}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $x = \frac{43}{21} \cdot \frac{100}{43}$.

Сократим одинаковые множители (43) в числителе и знаменателе: $x = \frac{100}{21}$.

Для получения окончательного ответа преобразуем неправильную дробь в смешанное число. Разделим 100 на 21 с остатком: $100 \div 21 = 4$ и $16$ в остатке. Следовательно, $x = 4\frac{16}{21}$.

Ответ: $4\frac{16}{21}$.

4. Найдите величину, если 3,8 % от неё равны:

а) 15 км 200 м;

б) 1 ч 54 мин.

4.

$\mathit{а}\mathbf{)} 15 \mathrm{км} 200 \mathrm{м} = 15 200 \mathrm{м}$

$\frac{3,8\%}{100\%}=0,038$

$$\begin{gathered} 15 200 : 0,038 = 15 200 000 : 38 = \\ = 400 000 \left(\mathrm{м}\right) : 1000= 400 \left(\mathrm{км}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 400 км

$\mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }1 \mathrm{ч} 54 \mathrm{мин} = 114 \mathrm{мин}$

$\frac{3,8\%}{100\%}=0,038$

$$\begin{gathered} 114 : 0,038 = 114000 : 38 = \\ = 3000 \left(\mathrm{мин}\right) = 3000 : 60 = 50 \left(\mathrm{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 50 ч.

Чтобы найти всю величину по известной части, выраженной в процентах, нужно эту часть разделить на количество процентов и умножить на 100. Или, что то же самое, разделить значение части на десятичное представление процента.

В данной задаче нам известно, что 3,8% от некоторой величины равны заданным значениям. Представим 3,8% в виде десятичной дроби: $3,8\% = \frac{3,8}{100} = 0,038$. Теперь найдем исходную величину для каждого случая.

а)

Сначала переведем данную величину в единую единицу измерения, например, в метры. В одном километре 1000 метров.

$15 \text{ км } 200 \text{ м} = 15 \cdot 1000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 15000 \text{ м} + 200 \text{ м} = 15200 \text{ м}$.

Теперь найдем исходную величину (обозначим ее как $X$), зная, что 3,8% от нее равны 15200 м.

$X = \frac{15200}{0,038}$

Для удобства вычислений избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 1000:

$X = \frac{15200 \cdot 1000}{0,038 \cdot 1000} = \frac{15200000}{38} = 400000 \text{ м}$.

Переведем результат обратно в километры:

$400000 \text{ м} = \frac{400000}{1000} \text{ км} = 400 \text{ км}$.

Ответ: 400 км.

б)

Переведем данную величину в единую единицу измерения, в минуты. В одном часе 60 минут.

$1 \text{ ч } 54 \text{ мин} = 1 \cdot 60 \text{ мин} + 54 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 54 \text{ мин} = 114 \text{ мин}$.

Теперь найдем исходную величину (обозначим ее как $Y$), зная, что 3,8% от нее равны 114 мин.

$Y = \frac{114}{0,038}$

Умножим числитель и знаменатель на 1000:

$Y = \frac{114 \cdot 1000}{0,038 \cdot 1000} = \frac{114000}{38} = 3000 \text{ мин}$.

Переведем результат в часы:

$3000 \text{ мин} = \frac{3000}{60} \text{ ч} = 50 \text{ ч}$.

Ответ: 50 ч.

4.115. Найдите неизвестный член пропорции:

1) 0,2 : х = 0,7 : 0,105; 2) 0,60,7 = х3,5; 3) 6,8 : 0,5 = х : 0,3; 4) 11,76,3 = 14,3х.

4.115

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 0,2 : х = 0,7 : 0,105 \\ х = \frac{0,2 · 0,105}{0,7} = \frac{2 · 0,105}{7} = \frac{0,21}{7} = 0,03 \\ \mathrm{Ответ}: 0,03. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{0,6}{0,7} = \frac{х}{3,5} \\ х = \frac{0,6 · 3,5}{0,7} = \frac{0,6 · {\displaystyle \stackrel{5}{\cancel{35}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{7}}}} = \frac{0,6 · 5}{1} = \\ = 0,6 · 5 =3 \\ \mathrm{Ответ}: 3. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} 6,8 : 0,5 = х : 0,3 \\ х = \frac{6,8 · 0,3}{0,5} = \frac{68 · 0,3}{5} = \frac{20,4}{5} = 4,08 \\ \mathrm{Ответ}: 4,08. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{11,7}{6,3} = \frac{14,3}{х} \\ х = \frac{6,3 · 14,3}{11,7} = \frac{{\displaystyle \stackrel{7}{\cancel{63} }}· 14,3}{{\displaystyle \underset{13}{\cancel{117}}}} = \frac{7 · {\displaystyle \stackrel{1,1}{\cancel{14,3}}}}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{13}}}}= \\ = \frac{7 · 1,1}{1} = 7,7 \\ \mathrm{Ответ}: 7,7. \end{gathered}$$

1) Дана пропорция $0,2 : x = 0,7 : 0,105$.
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данной пропорции крайние члены — это $0,2$ и $0,105$, а средние члены — $x$ и $0,7$.
Составим уравнение:
$x \cdot 0,7 = 0,2 \cdot 0,105$
$0,7x = 0,021$
Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = \frac{0,021}{0,7}$
$x = 0,03$
Ответ: $x = 0,03$.

2) Дана пропорция $\frac{0,6}{0,7} = \frac{x}{3,5}$.
Используя основное свойство пропорции (правило перекрестного умножения), получаем:
$0,7 \cdot x = 0,6 \cdot 3,5$
$0,7x = 2,1$
Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = \frac{2,1}{0,7}$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

3) Дана пропорция $6,8 : 0,5 = x : 0,3$.
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($6,8$ и $0,3$) равно произведению средних ($0,5$ и $x$).
Составим уравнение:
$0,5 \cdot x = 6,8 \cdot 0,3$
$0,5x = 2,04$
Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = \frac{2,04}{0,5}$
$x = 4,08$
Ответ: $x = 4,08$.

4) Дана пропорция $\frac{11,7}{6,3} = \frac{14,3}{x}$.
Используя правило перекрестного умножения, получаем:
$11,7 \cdot x = 6,3 \cdot 14,3$
Чтобы найти $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = \frac{6,3 \cdot 14,3}{11,7}$
Для упрощения вычислений можно сократить дробь. Заметим, что $11,7 = 9 \cdot 1,3$ и $6,3 = 9 \cdot 0,7$.
$x = \frac{(9 \cdot 0,7) \cdot 14,3}{9 \cdot 1,3}$
Сокращаем на 9:
$x = \frac{0,7 \cdot 14,3}{1,3}$
Также заметим, что $14,3 = 11 \cdot 1,3$.
$x = \frac{0,7 \cdot (11 \cdot 1,3)}{1,3}$
Сокращаем на 1,3:
$x = 0,7 \cdot 11$
$x = 7,7$
Ответ: $x = 7,7$.

4.116. 1) Для приготовления винегрета использовали 0,8 кг свёклы, 0,35 кг моркови, 0,55 кг картофеля, 0,65 кг солёных огурцов и 0,15 кг лука. Найдите процентное содержание каждого вида овощей, взятых для приготовления винегрета.

2) Для приготовления травяного чая смешали 0,15 кг душицы, 0,54 кг зверобоя, 0,36 кг ромашки, 0,27 кг чабреца и 0,18 кг мяты. Найдите процентное содержание каждого вида трав в полученной смеси.

4.116

1)

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,8 + 0,35 + 0,55 + 0,65 + 0,15 = 2,5 (\mathrm{кг})$– общая масса овощей;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{0,8}{2,5} · 100\% = {\frac{8}{25}}^{\overline{)·4}} · 100\% =$

$= \frac{32}{100} · 100\% =32\%$ - содержание свеклы;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{0,35}{2,5} · 100\% = {\frac{3,5}{25}}^{\overline{)·4}} · 100\% =$

$= \frac{14}{100} · 100\% =14\%$ - содержание моркови;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{0,55}{2,5} · 100\% = {\frac{5,5}{25}}^{\overline{)·4}} · 100\% =$

$= \frac{22}{100} · 100\% =22\%$ - содержание картофеля;

$\mathbf{5}\mathbf{)} \frac{0,65}{2,5} · 100\% = {\frac{6,5}{25}}^{\overline{)·4}} · 100\% =$

$= \frac{26}{100} · 100\% =26\%$ - содержание соленых огурцов;

$\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{0,15}{2,5} · 100\% = {\frac{1,5}{25}}^{\overline{)·4}} · 100\% =$

$= \frac{6}{100} · 100\% =6\%$ - содержание лука

Ответ: 32% свеклы, 14% моркови, 22% картофеля, 26% соленых огурцов, 6% лука.

2)

$\mathbf{1}\mathbf{)} 0,15 + 0,54 + 0,36 + 0,27 + 0,18 = 1,5 (\mathrm{кг})$– общая масса трав;

$\mathbf{2}\mathbf{)} \frac{0,15}{1,5} · 100\% = \frac{1,5}{15} · 100\% =$

$=0,1 · 100\% = 10\%$ - содержание душицы;

$\mathbf{3}\mathbf{)} \frac{0,54}{1,5} · 100\% = \frac{5,4}{15} · 100\% =$

$= 0,36 · 100\% = 36\%$ - содержание зверобоя;

$\mathbf{4}\mathbf{)} \frac{0,36}{1,5} · 100\% = \frac{3,6}{15} · 100\% =$

$=0,24 · 100\% = 24\%$- содержание ромашки;

$\mathbf{5}\mathbf{)} \frac{0,27}{1,5} · 100\% = \frac{2,7}{15} · 100\% =$

$= 0,18 · 100\% = 18\%$- содержание чабреца;

$\mathbf{6}\mathbf{)} \frac{0,18}{1,5} · 100\% = \frac{1,8}{15} · 100\% =$

$= 0,12 · 100\% = 12\%$- содержание мяты

Ответ: 10% душицы, 36% зверобоя, 24% ромашки, 18% чабреца, 12% мяты.

1) Чтобы найти процентное содержание каждого вида овощей, необходимо сначала вычислить общую массу всех ингредиентов. Эту общую массу мы примем за 100%.

1. Найдём общую массу винегрета, сложив массы всех овощей:
$0,8 \text{ кг (свёкла)} + 0,35 \text{ кг (морковь)} + 0,55 \text{ кг (картофель)} + 0,65 \text{ кг (огурцы)} + 0,15 \text{ кг (лук)} = 2,5 \text{ кг}$.

2. Теперь рассчитаем процентное содержание каждого овоща. Для этого массу каждого ингредиента разделим на общую массу и умножим на 100%. Формула для расчёта: $ \frac{\text{масса ингредиента}}{\text{общая масса}} \times 100\% $.
Процентное содержание свёклы: $ \frac{0,8}{2,5} \times 100\% = 0,32 \times 100\% = 32\% $.
Процентное содержание моркови: $ \frac{0,35}{2,5} \times 100\% = 0,14 \times 100\% = 14\% $.
Процентное содержание картофеля: $ \frac{0,55}{2,5} \times 100\% = 0,22 \times 100\% = 22\% $.
Процентное содержание солёных огурцов: $ \frac{0,65}{2,5} \times 100\% = 0,26 \times 100\% = 26\% $.
Процентное содержание лука: $ \frac{0,15}{2,5} \times 100\% = 0,06 \times 100\% = 6\% $.

Для проверки можно сложить все полученные проценты: $32\% + 14\% + 22\% + 26\% + 6\% = 100\%$.
Ответ: процентное содержание овощей в винегрете: свёкла — 32%, морковь — 14%, картофель — 22%, солёные огурцы — 26%, лук — 6%.

2) Для определения процентного содержания каждой травы в сборе действуем по тому же алгоритму: сначала находим общую массу смеси, а затем долю каждого компонента.

1. Найдём общую массу травяного сбора:
$0,15 \text{ кг (душица)} + 0,54 \text{ кг (зверобой)} + 0,36 \text{ кг (ромашка)} + 0,27 \text{ кг (чабрец)} + 0,18 \text{ кг (мята)} = 1,5 \text{ кг}$.

2. Рассчитаем процентное содержание каждой травы в полученной смеси.
Процентное содержание душицы: $ \frac{0,15}{1,5} \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\% $.
Процентное содержание зверобоя: $ \frac{0,54}{1,5} \times 100\% = 0,36 \times 100\% = 36\% $.
Процентное содержание ромашки: $ \frac{0,36}{1,5} \times 100\% = 0,24 \times 100\% = 24\% $.
Процентное содержание чабреца: $ \frac{0,27}{1,5} \times 100\% = 0,18 \times 100\% = 18\% $.
Процентное содержание мяты: $ \frac{0,18}{1,5} \times 100\% = 0,12 \times 100\% = 12\% $.

Проверка: $10\% + 36\% + 24\% + 18\% + 12\% = 100\%$.
Ответ: процентное содержание трав в смеси: душица — 10%, зверобой — 36%, ромашка — 24%, чабрец — 18%, мята — 12%.

4.117. Выполните действия:

1) 57,6 · ((11,962 + 21,848) : 1,38) + 6,18 · 52,5;

2) 3,74 · ((16,602 + 21,938) : 1,64) + 7,32 · 3,85.

4.117

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }57,6 \stackrel{3}{·} ((11,962 \stackrel{1}{+} 21,848)\stackrel{2}{ : }1,38) \stackrel{5}{+} 6,18 \stackrel{4}{·} 52,5 = 1735,65$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }3,74 \stackrel{3}{·} ((16,602 \stackrel{1}{+} 21,938)\stackrel{2}{ : }1,64) \stackrel{5}{+} 7,32 \stackrel{4}{·} 3,85 = 116,072$

1.	2.
3.	4.
5.

1) $57,6 \cdot ((11,962 + 21,848) : 1,38) + 6,18 \cdot 52,5$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются операции в скобках (сначала сложение, потом деление), затем умножение и, наконец, сложение.

1. Выполним сложение в скобках:
$11,962 + 21,848 = 33,81$

2. Результат сложения разделим на 1,38:
$33,81 : 1,38 = 24,5$

3. Теперь выражение приняло вид: $57,6 \cdot 24,5 + 6,18 \cdot 52,5$. Выполним умножения слева направо. Первое умножение:
$57,6 \cdot 24,5 = 1411,2$

4. Второе умножение:
$6,18 \cdot 52,5 = 324,45$

5. Сложим полученные результаты:
$1411,2 + 324,45 = 1735,65$

Ответ: 1735,65.

2) $3,74 \cdot ((16,602 + 21,938) : 1,64) + 7,32 \cdot 3,85$

Решим второй пример, также следуя порядку арифметических действий.

1. Выполним сложение в скобках:
$16,602 + 21,938 = 38,54$

2. Выполним деление в скобках:
$38,54 : 1,64 = 23,5$

3. Теперь выражение выглядит так: $3,74 \cdot 23,5 + 7,32 \cdot 3,85$. Выполним первое умножение:
$3,74 \cdot 23,5 = 87,89$

4. Выполним второе умножение:
$7,32 \cdot 3,85 = 28,182$

5. Сложим результаты умножений:
$87,89 + 28,182 = 116,072$

Ответ: 116,072.

4.118. Сравните числа:

а) –4916 и –3115; б) –32,72 и –32,68; в) – 45 и –0,9; г) –2,57 и – 235; д) – 78 и – 67 е) –0,4 и 37.

4.118

а) -4916 < -3115

б) -32,72 < -32,68

в) $-\frac{4}{5}$ = -0,9
$-\frac{4}{5}$ > -0,9

г) $-2\frac{3}{5}$ = -2,6
-2,57 > $-2\frac{3}{5}$

д) $$\begin{gathered} {-\frac{7}{8}}^{\overline{)·7}} = -\frac{48}{56}; {-\frac{6}{7}}^{\overline{)·8}} = -\frac{48}{56} \\ -\frac{7}{8} < -\frac{6}{7} \end{gathered}$$

е) -0,4 < $\frac{3}{7}$

а) Чтобы сравнить два отрицательных целых числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше. Сравним модули чисел $-4916$ и $-3115$: $|-4916| = 4916$ и $|-3115| = 3115$. Так как $4916 > 3115$, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-4916 < -3115$.
Ответ: $-4916 < -3115$.

б) Принцип сравнения отрицательных десятичных дробей тот же, что и для целых чисел. Сравниваем их модули: $|-32,72| = 32,72$ и $|-32,68| = 32,68$. Так как $32,72 > 32,68$, то для отрицательных чисел неравенство будет противоположным: $-32,72 < -32,68$.
Ответ: $-32,72 < -32,68$.

в) Для сравнения чисел представим их в одном виде, например, в виде десятичных дробей. Преобразуем обыкновенную дробь $-\frac{4}{5}$ в десятичную: $-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = -\frac{8}{10} = -0,8$. Теперь сравним $-0,8$ и $-0,9$. Сравниваем их модули: $|-0,8| = 0,8$ и $|-0,9| = 0,9$. Так как $0,8 < 0,9$, то для отрицательных чисел будет верно $-0,8 > -0,9$. Следовательно, $-\frac{4}{5} > -0,9$.
Ответ: $-\frac{4}{5} > -0,9$.

г) Преобразуем смешанную дробь в десятичную для удобства сравнения. Дробная часть $\frac{3}{5}$ равна $0,6$. Таким образом, $-2\frac{3}{5} = -2,6$. Теперь сравним числа $-2,57$ и $-2,6$. Сравним их модули: $|-2,57| = 2,57$ и $|-2,6| = 2,6$. Так как $2,57 < 2,6$, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-2,57 > -2,6$. Следовательно, $-2,57 > -2\frac{3}{5}$.
Ответ: $-2,57 > -2\frac{3}{5}$.

д) Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 равен $8 \cdot 7 = 56$. Первая дробь: $-\frac{7}{8} = -\frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = -\frac{49}{56}$. Вторая дробь: $-\frac{6}{7} = -\frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 8} = -\frac{48}{56}$. Теперь сравним дроби $-\frac{49}{56}$ и $-\frac{48}{56}$. Так как их знаменатели равны, сравниваем числители их модулей: $49$ и $48$. Поскольку $49 > 48$, то $\frac{49}{56} > \frac{48}{56}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, значит $-\frac{48}{56} > -\frac{49}{56}$. Следовательно, $-\frac{6}{7} > -\frac{7}{8}$.
Ответ: $-\frac{7}{8} < -\frac{6}{7}$.

е) В этом задании нужно сравнить отрицательное число $-0,4$ и положительное число $\frac{3}{7}$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Поэтому дополнительных вычислений не требуется.
Ответ: $-0,4 < \frac{3}{7}$.

4.119. Найдите множество всех цифр, которые можно написать вместо знака вопроса, чтобы получилось неверное неравенство:

а) –1524 < –152?; б) –8?32 > –8432; в) –?7,32 < –87,32; г) –888,? < –888,6; д) – 38 < – ?8; е) – ?9 > – 34.

4.119

а) -1524 < -152?
{4; 5; 6; 7; 8; 9}

б) -8?32 > -8432
{4; 5; 6; 7; 8; 9}

в) -?7,32 < -87,32
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

г) -888,? < -888,6
{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

$$\begin{gathered} \mathbf{д}\mathbf{)} -\frac{3}{8} < -\frac{?}{8} \\ \left\{3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\right\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{е}\mathbf{)}\mathbf{ }-\frac{?}{9} > -\frac{3}{4} \\ -\frac{?4}{36} > -\frac{27}{36} \\ \left\{7;8;9\right\} \end{gathered}$$

а) Чтобы неравенство $-1524 < -152?$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-1524 \ge -152?$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-1524 \ge -152x$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-1524| \le |-152x|$, что равносильно $1524 \le 152x$. Сравнивая числа $1524$ и $152x$, мы видим, что первые три цифры у них одинаковы. Неравенство будет верным, если последняя цифра числа $1524$ (то есть 4) будет меньше или равна последней цифре числа $152x$ (то есть $x$). Таким образом, $4 \le x$.

Ответ: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

б) Чтобы неравенство $-8?32 > -8432$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-8?32 \le -8432$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-8x32 \le -8432$. При сравнении отрицательных чисел меньшим (или равным) является то число, модуль которого больше (или равен). Следовательно, $|-8x32| \ge |-8432|$, что равносильно $8x32 \ge 8432$. Сравнивая числа $8x32$ и $8432$, мы видим, что первая цифра у них одинакова (8). Неравенство будет верным, если вторая цифра левого числа ($x$) будет больше или равна второй цифре правого числа (4). Таким образом, $x \ge 4$.

Ответ: {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

в) Чтобы неравенство $-?7,32 < -87,32$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-?7,32 \ge -87,32$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-x7,32 \ge -87,32$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-x7,32| \le |-87,32|$, что равносильно $x7,32 \le 87,32$. Сравнивая числа $x7,32$ и $87,32$, мы видим, что неравенство будет верным, если цифра в разряде десятков левого числа ($x$) будет меньше или равна цифре в разряде десятков правого числа (8). Таким образом, $x \le 8$.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

г) Чтобы неравенство $-888,? < -888,6$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-888,? \ge -888,6$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Тогда неравенство примет вид $-888,x \ge -888,6$. При сравнении отрицательных чисел большим (или равным) является то число, модуль которого меньше (или равен). Следовательно, $|-888,x| \le |-888,6|$, что равносильно $888,x \le 888,6$. Целые части чисел равны, поэтому сравниваем их дробные части. Неравенство будет верным, если цифра в разряде десятых левого числа ($x$) будет меньше или равна цифре в разряде десятых правого числа (6). Таким образом, $x \le 6$.

Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

д) Чтобы неравенство $-\frac{3}{8} < -\frac{?}{8}$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-\frac{3}{8} \ge -\frac{?}{8}$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Умножим обе части неравенства $-\frac{3}{8} \ge -\frac{x}{8}$ на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{3}{8} \le \frac{x}{8}$. Так как знаменатели дробей одинаковы и положительны, можно сравнить их числители: $3 \le x$.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

е) Чтобы неравенство $-\frac{?}{9} > -\frac{3}{4}$ было неверным, должно выполняться противоположное неравенство: $-\frac{?}{9} \le -\frac{3}{4}$. Пусть неизвестная цифра будет $x$. Умножим обе части неравенства $-\frac{x}{9} \le -\frac{3}{4}$ на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{x}{9} \ge \frac{3}{4}$. Чтобы сравнить дроби, воспользуемся перекрестным умножением: $x \cdot 4 \ge 3 \cdot 9$, что дает $4x \ge 27$. Разделим обе части на 4: $x \ge \frac{27}{4}$, или $x \ge 6,75$. Так как $x$ - это цифра, то она должна быть целым числом. Этому условию удовлетворяют цифры, большие или равные 7.

Ответ: {7, 8, 9}.

4.120. Расположите числа –0,1; 1,9; 0,6; –1,8; 0; –1; 1,2 и 1,5 в порядке:

а) возрастания; б) убывания.

4.120

а) в порядке возрастания: -1,8; -1; -0,1; 0; 0,6; 1,2; 1,5; 1,9

б) в порядке убывания: 1,9; 1,5; 1,2; 0,6; 0; -0,1; -1; -1,8

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо упорядочить их от наименьшего к наибольшему. Рассмотрим данный набор чисел: $ -0,1; 1,9; 0,6; -1,8; 0; -1; 1,2; 1,5 $.

Для удобства разделим числа на три группы: отрицательные, ноль и положительные.

Отрицательные числа: $ -0,1; -1,8; -1 $.

Ноль: $ 0 $.

Положительные числа: $ 1,9; 0,6; 1,2; 1,5 $.

Теперь упорядочим числа в каждой группе. Среди отрицательных чисел меньшим является то, у которого модуль (значение без знака) больше. Сравним модули: $ | -1,8 | = 1,8 $, $ | -1 | = 1 $, $ | -0,1 | = 0,1 $. Так как $ 1,8 > 1 > 0,1 $, то в порядке возрастания числа располагаются так: $ -1,8 < -1 < -0,1 $.

Положительные числа упорядочить проще: $ 0,6 < 1,2 < 1,5 < 1,9 $.

Теперь объединим все группы в одну последовательность в порядке возрастания: сначала идут отрицательные числа (от меньшего к большему), затем ноль, затем положительные числа (от меньшего к большему).

Получаем итоговый ряд: $ -1,8; -1; -0,1; 0; 0,6; 1,2; 1,5; 1,9 $.

Ответ: $ -1,8; -1; -0,1; 0; 0,6; 1,2; 1,5; 1,9 $.

Расположить числа в порядке убывания — значит упорядочить их от наибольшего к наименьшему. Это порядок, обратный тому, что был получен в пункте а).

Мы можем взять ряд, полученный при сортировке по возрастанию, и записать его элементы в обратном порядке.

Ряд по возрастанию: $ -1,8; -1; -0,1; 0; 0,6; 1,2; 1,5; 1,9 $.

Записывая его в обратном порядке, получаем ряд по убыванию: $ 1,9; 1,5; 1,2; 0,6; 0; -0,1; -1; -1,8 $.

Ответ: $ 1,9; 1,5; 1,2; 0,6; 0; -0,1; -1; -1,8 $.

4.121. За экзаменационную работу в девятых классах 8 человек получили оценку «5», 20 человек – «4», а остальные 22 ученика – «3». Сколько процентов всех учащихся получили оценку «5», сколько – «4» и сколько – «3»?

4.121

«5» - 8 уч. - ?%

«4» - 20 уч. - ?%

«3» - 22 уч. - ?%

$\mathbf{1}\mathbf{)} 8 + 20 + 22 = 50 (\mathrm{ч})$– всего в девятых классах;

$\mathbf{2}\mathbf{)} {\frac{8}{50}}^{\overline{)·2}} · 100\% = \frac{16}{100} · 100\% =16\%$ - получили оценку «5»;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{20}{50}}^{\overline{)·2}} · 100\% = \frac{40}{100} · 100\% =40\%$ - получили оценку «4»;

$\mathbf{4}\mathbf{)} {\frac{22}{50}}^{\overline{)·2}} · 100\% = \frac{44}{100} · 100\% =44\%$ - получили оценку «3»;

Ответ: 16% оценку «5», 40% оценку «4», 44% оценку «3».

Для того чтобы найти, какой процент учащихся получил каждую из оценок, сначала необходимо определить общее количество учащихся, писавших экзаменационную работу.

Сложим количество учеников, получивших оценки «5», «4» и «3»:

$8 + 20 + 22 = 50$ (учащихся)

Общее количество учащихся составляет 50 человек. Это значение мы принимаем за 100%. Теперь рассчитаем процентное соотношение для каждой оценки по формуле: $(\frac{\text{количество учеников с оценкой}}{\text{общее количество учеников}}) \times 100\%$.

Сколько процентов всех учащихся получили оценку «5»

Вычислим процент учащихся, которые получили оценку «5»:

$\frac{8}{50} \times 100\% = 0.16 \times 100\% = 16\%$

Ответ: 16% учащихся получили оценку «5».

сколько — «4»

Вычислим процент учащихся, которые получили оценку «4»:

$\frac{20}{50} \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\%$

Ответ: 40% учащихся получили оценку «4».

и сколько — «3»?

Вычислим процент учащихся, которые получили оценку «3»:

$\frac{22}{50} \times 100\% = 0.44 \times 100\% = 44\%$

Для проверки можно убедиться, что сумма всех процентов равна 100%: $16\% + 40\% + 44\% = 100\%$.

Ответ: 44% учащихся получили оценку «3».

4.122. Найдите неизвестный член пропорции 811 : 5,7 = х : 17,1.

4.122

$$\begin{gathered} \frac{8}{11} : 5,7 = х : 17,1; \\ х = \frac{8}{11} · 17,1 : 5,7 = \frac{8}{11} · 17\frac{1}{10} : 5\frac{7}{10} = \\ = \frac{8}{11} · \frac{171}{10} : \frac{57}{10} = \frac{8}{11} · \frac{{\displaystyle \stackrel{3}{\bcancel{171}}}}{\cancel{10}} · \frac{\cancel{10}}{{\displaystyle \underset{1}{\bcancel{57}}}} = \\ =\frac{8}{11} · \frac{3}{1} · \frac{1}{1} = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11}. \end{gathered}$$

Ответ: $2\frac{2}{11}.$

4.122

Дана пропорция $ \frac{8}{11} : 5,7 = x : 17,1 $. Для нахождения неизвестного члена $ x $ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Крайние члены пропорции: $ \frac{8}{11} $ и $ 17,1 $. Средние члены: $ 5,7 $ и $ x $.

Составим уравнение на основе этого свойства:

$ \frac{8}{11} \cdot 17,1 = 5,7 \cdot x $

Выразим $ x $ из этого уравнения:

$ x = \frac{\frac{8}{11} \cdot 17,1}{5,7} $

Можно упростить выражение, разделив $ 17,1 $ на $ 5,7 $:

$ 17,1 \div 5,7 = 3 $

Тогда уравнение для $ x $ примет вид:

$ x = \frac{8}{11} \cdot 3 $

Выполним умножение и получим окончательный результат:

$ x = \frac{24}{11} $

Этот результат также можно записать в виде смешанного числа $ 2 \frac{2}{11} $.

Ответ: $ \frac{24}{11} $.

4.123. Выполните действия:

а) (409 – 10,883 – 243 + 77,337) : (2,1803 + 1,3697);

б) 5,05 · (93,8 – (51,12 : 7,1 + 32,82) : 8,7).

4.123

$\mathit{а}\mathbf{)}\mathbf{ }(409 \stackrel{1}{– }10,883 \stackrel{2}{– }243 \stackrel{3}{+} 77,337)\stackrel{5}{ :} (2,1803 \stackrel{4}{+} 1,3697) = 65,48$

1.	2.
3.	4.
5.

$\mathit{б}\mathbf{)}\mathbf{ }5,05 \stackrel{5}{·} (93,8 \stackrel{4}{–} (51,12 \stackrel{1}{:} 7,1 \stackrel{2}{+} 32,82)\stackrel{3}{ : }8,7) = 450,46$

1.	2.
3.	4.
5.

Для решения примера $(409 - 10,883 - 243 + 77,337) : (2,1803 + 1,3697)$ выполним действия по порядку. Сначала вычислим значения в скобках, а затем выполним деление.

1. Выполним действия в первой скобке:
$409 - 10,883 = 398,117$
$398,117 - 243 = 155,117$
$155,117 + 77,337 = 232,454$

2. Выполним действие во второй скобке:
$2,1803 + 1,3697 = 3,55$

3. Выполним деление результатов:
$232,454 : 3,55 = 65,48$

Ответ: 65,48.

Для решения примера $5,05 \cdot (93,8 - (51,12 : 7,1 + 32,82) : 8,7)$ будем соблюдать порядок действий. Сначала выполним операции во внутренних скобках, затем во внешних и в конце — умножение.

1. Выполним действия во внутренних скобках:
$51,12 : 7,1 = 7,2$
$7,2 + 32,82 = 40,02$

2. Выполним действия во внешних скобках с результатом из внутренних:
$40,02 : 8,7 = 4,6$
$93,8 - 4,6 = 89,2$

3. Выполним последнее действие — умножение:
$5,05 \cdot 89,2 = 450,46$

Ответ: 450,46.

1. Сравните числа:

а) –8 и 0; б) 0,001 и 0; в) – 0,01 и 0; г) 34 и 0.

Проверочная работа

1.

а) -8 < 0

б) 0,001 > 0

в) -0,01 < 0

г) $\frac{3}{4}$ > 0

а) Чтобы сравнить числа $-8$ и $0$, нужно вспомнить правило сравнения чисел с нулем. Любое отрицательное число меньше нуля. Так как $-8$ является отрицательным числом, оно меньше нуля.
Ответ: $-8 < 0$.

б) Чтобы сравнить числа $0,001$ и $0$, воспользуемся правилом сравнения чисел с нулем. Любое положительное число больше нуля. Так как $0,001$ является положительным числом, оно больше нуля.
Ответ: $0,001 > 0$.

в) Чтобы сравнить числа $-0,01$ и $0$, применим правило сравнения чисел с нулем. Любое отрицательное число меньше нуля. Так как $-0,01$ является отрицательным числом, оно меньше нуля.
Ответ: $-0,01 < 0$.

г) Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{4}$ и $0$, определим знак дроби. Так как и числитель (3), и знаменатель (4) являются положительными числами, сама дробь также положительна. Любое положительное число больше нуля.
Ответ: $\frac{3}{4} > 0$.