Страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. Верно ли утверждение:

а) чтобы умножить сумму двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число каждое слагаемое и результаты сложить; $ (a+b)c = ac + bc $

б) чтобы умножить разность двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе; $ (a-b)c = ac - bc $

в) чтобы умножить произведение двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число каждый множитель и результаты перемножить? $ (ab)c = (ac)(bc) $

Ответ: а) ................ б) ................ в) ................

а) Да, это утверждение верно. Оно описывает распределительное свойство умножения относительно сложения. Если обозначить два числа как $a$ и $b$, а число, на которое умножается их сумма, как $c$, то это свойство можно записать в виде формулы: $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c $.
Например, пусть $a=3$, $b=5$, $c=4$.
Сумма, умноженная на число: $(3 + 5) \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32$.
Сумма произведений: $3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 12 + 20 = 32$.
Результаты совпадают.
Ответ: да, верно.

б) Да, это утверждение тоже верно. Оно описывает распределительное свойство умножения относительно вычитания. Если обозначить уменьшаемое как $a$, вычитаемое как $b$, и число, на которое умножается разность, как $c$, то формула будет выглядеть так: $ (a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c $.
Например, пусть $a=10$, $b=4$, $c=2$.
Разность, умноженная на число: $(10 - 4) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$.
Разность произведений: $10 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 20 - 8 = 12$.
Результаты совпадают.
Ответ: да, верно.

в) Нет, это утверждение неверно. Чтобы умножить произведение двух чисел на некоторое число, достаточно умножить на это число только один из множителей. Утверждение предлагает умножить каждый множитель, что приведет к неверному результату.
Запишем утверждение в виде формулы, где $a$ и $b$ — множители, а $c$ — число: $ (a \cdot b) \cdot c = (a \cdot c) \cdot (b \cdot c) $?
Раскроем скобки в правой части: $ (a \cdot c) \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c \cdot c = (a \cdot b) \cdot c^2 $.
Следовательно, равенство $ (a \cdot b) \cdot c = (a \cdot b) \cdot c^2 $ выполняется только если $c=1$ или $c=0$, но не в общем случае.
Приведем контрпример. Пусть $a=2$, $b=3$, $c=4$.
Произведение, умноженное на число: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$.
Согласно утверждению: $(2 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 4) = 8 \cdot 12 = 96$.
Так как $24 \neq 96$, утверждение неверно.
Ответ: нет, неверно.

6. Какими числами являются значения выражений $(2x - 3y)(7x - 4y)$ и $(3y - 2x)(4y - 7x)$, если $x, y$ — любые числа, отличные от нуля? Выберите верный ответ.

1. Противоположными

2. Обратными

3. Равными

4. Ответ зависит от значений $x$ и $y$

Чтобы определить, какими числами являются значения заданных выражений, преобразуем одно из них и сравним с другим.

Первое выражение: $A = (2x - 3y)(7x - 4y)$.

Второе выражение: $B = (3y - 2x)(4y - 7x)$.

Рассмотрим второе выражение $B$. Вынесем в каждой из его скобок множитель $-1$:

В первой скобке: $3y - 2x = -1 \cdot (-3y + 2x) = -(2x - 3y)$.

Во второй скобке: $4y - 7x = -1 \cdot (-4y + 7x) = -(7x - 4y)$.

Теперь подставим полученные преобразованные скобки обратно в выражение $B$:

$B = (-(2x - 3y)) \cdot (-(7x - 4y))$

Произведение двух отрицательных выражений равно произведению этих же выражений, взятых со знаком плюс, так как $(-1) \cdot (-1) = 1$.

$B = (-1) \cdot (2x - 3y) \cdot (-1) \cdot (7x - 4y) = ((-1) \cdot (-1)) \cdot (2x - 3y)(7x - 4y) = 1 \cdot (2x - 3y)(7x - 4y)$

Таким образом, мы получили, что $B = (2x - 3y)(7x - 4y)$.

Сравнивая это с первым выражением $A = (2x - 3y)(7x - 4y)$, мы видим, что $A = B$.

Это означает, что значения данных выражений равны при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: 3. Равными

7. Вычислите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

$24 \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{12} \right) - 35 \cdot \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{5} \right) =$

Для вычисления значения данного выражения необходимо использовать распределительное свойство умножения относительно вычитания, которое выглядит так: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$.

Применим это свойство к каждой части выражения.

Сначала раскроем скобки в первой части выражения: $24 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{12})$.

$24 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{12}) = 24 \cdot \frac{1}{3} - 24 \cdot \frac{1}{12}$

Вычислим каждое произведение:

$24 \cdot \frac{1}{3} = \frac{24}{3} = 8$

$24 \cdot \frac{1}{12} = \frac{24}{12} = 2$

Таким образом, значение первой части выражения равно: $8 - 2 = 6$.

Далее раскроем скобки во второй части выражения: $35 \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{5})$.

$35 \cdot (\frac{1}{7} - \frac{1}{5}) = 35 \cdot \frac{1}{7} - 35 \cdot \frac{1}{5}$

Вычислим каждое произведение:

$35 \cdot \frac{1}{7} = \frac{35}{7} = 5$

$35 \cdot \frac{1}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Таким образом, значение второй части выражения равно: $5 - 7 = -2$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$6 - (-2) = 6 + 2 = 8$

Ответ: 8

8. Вычислите значение выражения, используя сочетательное свойство умножения:

$0,2 \cdot 5 - \frac{1}{7} \cdot (-10) \cdot 14 =$

Для решения данной задачи необходимо использовать сочетательное свойство умножения. Это свойство гласит, что при умножении нескольких чисел их можно группировать в любом порядке. Математически это записывается как $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Также для удобства воспользуемся переместительным свойством, которое позволяет менять множители местами: $a \cdot b = b \cdot a$.

Дано выражение:

$0,2 \cdot 5\frac{1}{7} \cdot (-10) \cdot 14$

Чтобы упростить вычисления, сгруппируем множители следующим образом: умножим десятичную дробь на $-10$, а смешанное число на $14$.

$(0,2 \cdot (-10)) \cdot (5\frac{1}{7} \cdot 14)$

1. Вычислим произведение в первой группе:

$0,2 \cdot (-10) = -2$

2. Вычислим произведение во второй группе. Для этого сначала представим смешанное число $5\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби:

$5\frac{1}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{36}{7}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{36}{7} \cdot 14 = \frac{36 \cdot 14}{7} = 36 \cdot 2 = 72$

3. Перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$(-2) \cdot 72 = -144$

Ответ: $-144$

9. Укажите все простые числа, которые являются делителями числа а, если:

$a=31 \cdot 17+17 \cdot 13=17 \cdot (31+13)=17 \cdot 44$

Искомые числа: 2, 11, 17

a) $a=21 \cdot 47-13 \cdot 21=$

Искомые числа:

б) $a=34 \cdot 13+12 \cdot 34=$

Искомые числа:

а) Чтобы найти все простые делители числа $a$, сперва упростим заданное выражение, вынеся общий множитель за скобки, а затем разложим полученное число на простые множители.

Исходное выражение: $a = 21 \cdot 47 - 13 \cdot 21$.

Общим множителем является число 21. Вынесем его за скобки, применяя распределительный закон умножения:

$a = 21 \cdot (47 - 13)$

Выполним действие в скобках:

$47 - 13 = 34$

Теперь выражение для $a$ выглядит так:

$a = 21 \cdot 34$

Разложим каждый множитель (21 и 34) на простые сомножители:

$21 = 3 \cdot 7$

$34 = 2 \cdot 17$

Следовательно, полное разложение числа $a$ на простые множители будет таким:

$a = (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 17) = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17$

Простыми делителями числа $a$ являются все простые числа в его разложении.

Ответ: 2, 3, 7, 17.

б) Поступим аналогично, упростив выражение для $a$ и найдя его простые множители.

Исходное выражение: $a = 34 \cdot 13 + 12 \cdot 34$.

Общий множитель здесь — 34. Вынесем его за скобки:

$a = 34 \cdot (13 + 12)$

Выполним сложение в скобках:

$13 + 12 = 25$

Выражение для $a$ принимает вид:

$a = 34 \cdot 25$

Разложим множители 34 и 25 на простые сомножители:

$34 = 2 \cdot 17$

$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

Полное разложение числа $a$ на простые множители:

$a = (2 \cdot 17) \cdot (5 \cdot 5) = 2 \cdot 5^2 \cdot 17$

Простыми делителями числа $a$ являются все уникальные простые числа в его разложении.

Ответ: 2, 5, 17.

10. Найдите корень уравнения:

а) $3x(-4x^2 + 7 + 2x) + 9 = 6x(x - 1 - 2x^2)$;

б) $2y(1 - 6y) + 3y(4y - 3) = -7y - 5(3 - y)$.

а) $3x(-4x^2 + 7 + 2x) + 9 = 6x(x - 1 - 2x^2)$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в обеих частях.

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $3x$ на каждый член в скобках:

$3x \cdot (-4x^2) + 3x \cdot 7 + 3x \cdot 2x + 9 = -12x^3 + 21x + 6x^2 + 9$

Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $6x$ на каждый член в скобках:

$6x \cdot x + 6x \cdot (-1) + 6x \cdot (-2x^2) = 6x^2 - 6x - 12x^3$

Теперь приравняем полученные выражения:

$-12x^3 + 6x^2 + 21x + 9 = 6x^2 - 6x - 12x^3$

Перенесем все члены уравнения из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы собрать все слагаемые с одной стороны:

$-12x^3 + 6x^2 + 21x + 9 - 6x^2 + 6x + 12x^3 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-12x^3 + 12x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (21x + 6x) + 9 = 0$

Слагаемые с $x^3$ и $x^2$ взаимно уничтожаются:

$0 + 0 + 27x + 9 = 0$

$27x + 9 = 0$

Теперь решим получившееся линейное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$27x = -9$

Разделим обе части на коэффициент при $x$:

$x = -\frac{9}{27}$

Сократим дробь:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) $2y(1 - 6y) + 3y(4y - 3) = -7y - 5(3 - y)$

Для решения раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Преобразуем левую часть:

$(2y \cdot 1 - 2y \cdot 6y) + (3y \cdot 4y - 3y \cdot 3) = (2y - 12y^2) + (12y^2 - 9y)$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2y - 12y^2 + 12y^2 - 9y = (2y - 9y) + (-12y^2 + 12y^2) = -7y$

Теперь преобразуем правую часть:

$-7y - (5 \cdot 3 - 5 \cdot y) = -7y - 15 + 5y$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$(-7y + 5y) - 15 = -2y - 15$

Приравняем упрощенные части уравнения:

$-7y = -2y - 15$

Перенесем члены с переменной $y$ в одну сторону, а числовые значения в другую. Перенесем $-2y$ в левую часть:

$-7y + 2y = -15$

$-5y = -15$

Найдем $y$, разделив обе части на $-5$:

$y = \frac{-15}{-5}$

$y = 3$

Ответ: $3$.