Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

13. Составьте какое-либо выражение для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке.

$S = 2db + cd$

Для вычисления площади представленной фигуры можно использовать несколько подходов. Фигура представляет собой П-образный многоугольник, и все её углы можно считать прямыми. Из рисунка видно, что общая ширина фигуры $a$ связана с шириной боковых ножек $d$ и шириной внутреннего выреза $c$ соотношением $a = d + c + d = c + 2d$.

На рисунке не указана толщина верхней горизонтальной части фигуры. В подобных задачах, если размер не указан, часто предполагается симметрия или равенство аналогичным размерам. Будем исходить из разумного предположения, что толщина верхней части равна ширине боковых ножек, то есть $d$.

Рассмотрим несколько способов составления выражения для площади $S$.

Способ 1: Метод вычитания

Этот метод заключается в том, чтобы найти площадь большого прямоугольника, который охватывает всю фигуру, и вычесть из неё площадь пустого пространства (выреза).

1. Площадь большого охватывающего прямоугольника с размерами $a$ на $b$ равна $S_{большого} = a \cdot b$.

2. Из этого прямоугольника мысленно вырезан незакрашенный прямоугольник. Ширина этого выреза, согласно рисунку, равна $c$.

3. Высота вырезанного прямоугольника равна общей высоте фигуры $b$ минус толщина верхней перекладины, которую мы приняли равной $d$. Таким образом, высота выреза составляет $b - d$.

4. Площадь вырезанного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{выреза} = c \cdot (b - d)$.

5. Площадь искомой фигуры $S$ получается вычитанием площади выреза из площади большого прямоугольника: $S = S_{большого} - S_{выреза} = a \cdot b - c \cdot (b - d)$.

Ответ: $S = ab - c(b-d)$

Способ 2: Метод сложения (разбиение на 3 части)

Этот метод заключается в разбиении фигуры на более простые прямоугольные части, площади которых затем складываются.

1. Фигуру можно разбить на один верхний горизонтальный прямоугольник и две боковые вертикальные "ножки" под ним.

2. Верхний горизонтальный прямоугольник имеет ширину $a$ и высоту (толщину) $d$. Его площадь составляет $S_{верх} = a \cdot d$.

3. Оставшиеся две боковые ножки имеют ширину $d$ каждая. Их высота равна общей высоте $b$ минус высота уже учтенного верхнего прямоугольника, то есть $b - d$.

4. Площадь одной такой ножки равна $d \cdot (b - d)$, а суммарная площадь двух ножек: $S_{ножек} = 2 \cdot d \cdot (b - d)$.

5. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих частей: $S = S_{верх} + S_{ножек} = a \cdot d + 2 \cdot d \cdot (b - d)$.

Ответ: $S = ad + 2d(b-d)$

Способ 3: Метод сложения (другое разбиение)

Рассмотрим другое разбиение фигуры на части.

1. Фигуру можно представить как два высоких боковых прямоугольника, соединенных сверху центральной перемычкой.

2. Каждый из двух боковых прямоугольников имеет ширину $d$ и полную высоту $b$. Их суммарная площадь равна $S_{боковых} = 2 \cdot d \cdot b$.

3. Эти два прямоугольника соединены сверху центральной перемычкой, которая не была учтена в предыдущем шаге. Эта перемычка имеет ширину $c$ и высоту (толщину) $d$. Ее площадь равна $S_{перемычки} = c \cdot d$.

4. Общая площадь фигуры является суммой площадей этих частей: $S = S_{боковых} + S_{перемычки} = 2db + cd$.

5. Это выражение можно также записать, вынеся общий множитель $d$ за скобки: $S = d(2b + c)$.

Ответ: $S = 2bd + cd$

Все три полученных выражения являются правильными и эквивалентными друг другу при условии, что $a = c + 2d$.

14. В сплаве золота и серебра массой 150 г содержалось x г золота. В сплав добавили ещё 10 г золота. Найдите процентное содержание золота в первоначальном и новом сплаве.

В первоначальном сплаве процентное содержание золота равно .........................

В новом сплаве процентное содержание золота равно .......................

В первоначальном сплаве процентное содержание золота равно

Для того чтобы найти процентное содержание вещества в сплаве, нужно массу этого вещества разделить на общую массу сплава и умножить на 100%.

В первоначальном сплаве было:

• Масса золота: $x$ г
• Общая масса сплава: $150$ г

Процентное содержание золота ($P_1$) в первоначальном сплаве вычисляется по формуле:

$P_1 = \frac{\text{масса золота}}{\text{общая масса сплава}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$P_1 = \frac{x}{150} \times 100\% = \frac{100x}{150}\% = \frac{2x}{3}\%$

Ответ: $\frac{2x}{3}\%$

В новом сплаве процентное содержание золота равно

В сплав добавили 10 г золота. Это означает, что масса золота и общая масса сплава увеличились на 10 г.

В новом сплаве стало:

• Новая масса золота: $x + 10$ г
• Новая общая масса сплава: $150 + 10 = 160$ г

Процентное содержание золота ($P_2$) в новом сплаве вычисляется по той же формуле, но с новыми значениями:

$P_2 = \frac{\text{новая масса золота}}{\text{новая общая масса сплава}} \times 100\%$

Подставим новые значения:

$P_2 = \frac{x + 10}{160} \times 100\% = \frac{100(x + 10)}{160}\% = \frac{10(x + 10)}{16}\% = \frac{5(x + 10)}{8}\%$

Ответ: $\frac{5(x + 10)}{8}\%$

15. В 250 г водного раствора соли, содержащего $a$ г соли, добавили ещё 5 г соли. Найдите концентрацию первоначального и нового раствора соли.

Концентрация первоначального раствора равна ..........................

Концентрация нового раствора равна .................

Концентрация первоначального раствора равна

Концентрация (массовая доля) вещества в растворе вычисляется по формуле, где масса растворенного вещества делится на общую массу раствора.

$C = \frac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{раствора}}}$

В данном случае для первоначального раствора мы имеем:
Масса соли = $a$ г.
Масса раствора = 250 г.

Подставляем эти значения в формулу для нахождения концентрации первоначального раствора ($C_1$):
$C_1 = \frac{a}{250}$

Чтобы выразить концентрацию в процентах, можно умножить полученную дробь на 100: $C_1(\%) = \frac{a}{250} \times 100\% = 0.4a\%$.

Ответ: $\frac{a}{250}$.

Концентрация нового раствора равна

После добавления 5 г соли, масса соли и общая масса раствора увеличиваются.

Новая масса соли составит:
$m_{\text{соли, новая}} = a + 5$ г.

Новая масса раствора будет суммой начальной массы раствора и массы добавленной соли:
$m_{\text{раствора, новая}} = 250 + 5 = 255$ г.

Теперь рассчитаем концентрацию нового раствора ($C_2$):
$C_2 = \frac{m_{\text{соли, новая}}}{m_{\text{раствора, новая}}} = \frac{a + 5}{255}$

Ответ: $\frac{a + 5}{255}$.

16. Техническое перевооружение цеха дало возможность выпускать в сутки $n$ станков вместо $m$ станков, выпускаемых первоначально ($n>m$). Составьте формулу, позволяющую определить, на сколько процентов увеличился выпуск станков в сутки.

Для того чтобы составить формулу, позволяющую определить, на сколько процентов увеличился выпуск станков, необходимо выполнить следующие действия.

1. Примем первоначальный выпуск станков, равный $m$, за базовое значение, то есть за 100%.

2. После технического перевооружения выпуск станков стал равен $n$.

3. Найдем абсолютное увеличение выпуска. Для этого вычтем из нового значения первоначальное:

Абсолютное увеличение = $n - m$.

4. Чтобы найти, на сколько процентов увеличился выпуск, нужно разделить абсолютное увеличение на первоначальное (базовое) значение и умножить результат на 100%. Это стандартная формула для нахождения процентного изменения.

Процентное увеличение = $\frac{\text{абсолютное увеличение}}{\text{базовое значение}} \times 100\%$

5. Подставим наши значения в эту формулу:

Процентное увеличение = $\frac{n - m}{m} \times 100\%$

Это и есть искомая формула.

Ответ: $\frac{n - m}{m} \times 100\%$

17. Решая некоторые задачи из геометрии и механики, Архимед вывел формулу

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + \dots + 7^2$.

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно.

Пользуясь этой формулой, найдите сумму $1^2 + 2^2 + ... + 7^2$.
Для нахождения суммы квадратов чисел от 1 до 7, мы используем данную формулу $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, где $n$ — это последнее число в последовательности.
В нашем случае $n=7$. Подставим это значение в формулу и произведем вычисления:
$S_7 = \frac{7(7+1)(2 \cdot 7+1)}{6}$
$S_7 = \frac{7 \cdot 8 \cdot (14+1)}{6}$
$S_7 = \frac{7 \cdot 8 \cdot 15}{6}$
Вычислим произведение в числителе и разделим на знаменатель:
$S_7 = \frac{840}{6} = 140$.
Можно также предварительно сократить дробь:
$S_7 = \frac{7 \cdot (2 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5)}{2 \cdot 3} = 7 \cdot 4 \cdot 5 = 140$.
Ответ: 140

Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно.
Для проверки выполним прямое сложение квадратов чисел от 1 до 7:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49$.
Сложим эти числа. Для удобства можно сгруппировать слагаемые:
$(1 + 49) + (4 + 36) + (9 + 16) + 25 = 50 + 40 + 25 + 25 = 90 + 50 = 140$.
Результат, полученный прямым сложением (140), совпадает с результатом, полученным по формуле (140), что подтверждает правильность решения.
Ответ: 140

15. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

a) $5a - (-(3a - 2) + (a - 6)) + 8 = $

б) $3 - (5xy^2 - (3x^2y + xy)) + (xy^2 - 4x^2y) + xy) = $

а)

Для преобразования выражения в многочлен стандартного вида нужно выполнить следующие действия: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $5a - (-(3a - 2) + (a - 6)) + 8$.

1. Начнем с раскрытия внутренних скобок. Перед скобкой $(3a - 2)$ стоит знак «минус», поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные. Скобки $(a - 6)$ можно просто опустить, так как перед ними стоит знак «плюс».

$5a - (-3a + 2 + a - 6) + 8$

2. Теперь приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок.

$-3a + a = -2a$

$2 - 6 = -4$

После упрощения выражение примет вид: $5a - (-2a - 4) + 8$.

3. Раскроем последнюю скобку. Перед ней также стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых $-2a$ и $-4$ снова меняются на противоположные.

$5a + 2a + 4 + 8$

4. Приведем оставшиеся подобные слагаемые.

$5a + 2a = 7a$

$4 + 8 = 12$

В результате получаем многочлен в стандартном виде.

Ответ: $7a + 12$.

б)

Преобразуем данное выражение, последовательно раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $3 - (5xy^2 - (3x^2y + xy) + (xy^2 - 4x^2y) + xy)$.

1. Сначала раскроем внутренние скобки, которые находятся внутри большой скобки.

$-(3x^2y + xy) = -3x^2y - xy$

$+(xy^2 - 4x^2y) = xy^2 - 4x^2y$

Подставим полученные выражения обратно:

$3 - (5xy^2 - 3x^2y - xy + xy^2 - 4x^2y + xy)$

2. Приведем подобные слагаемые внутри большой скобки.

Группируем слагаемые с $xy^2$: $5xy^2 + xy^2 = 6xy^2$.

Группируем слагаемые с $x^2y$: $-3x^2y - 4x^2y = -7x^2y$.

Группируем слагаемые с $xy$: $-xy + xy = 0$.

Таким образом, выражение в скобках упрощается до: $6xy^2 - 7x^2y$.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$3 - (6xy^2 - 7x^2y)$

4. Раскроем оставшуюся скобку. Так как перед ней стоит знак «минус», знаки всех членов внутри скобки меняются на противоположные.

$3 - 6xy^2 + 7x^2y$

5. Для получения многочлена стандартного вида запишем его члены в порядке убывания степеней переменных (например, сначала по степени $x$, затем $y$).

$7x^2y - 6xy^2 + 3$

Ответ: $7x^2y - 6xy^2 + 3$.

16. Упростите выражение $5abc-(2a^2b-(3abc+(6ab^2-3a^2b)))$ и найдите его значение при $a=-1, b=2, c=-2$.

Упрощение выражения
Сначала необходимо упростить исходное алгебраическое выражение. Для этого будем последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних.
Исходное выражение: $5abc - (2a^2b - (3abc + (6ab^2 - 3a^2b)))$.

1. Раскрываем самые внутренние скобки $(6ab^2 - 3a^2b)$. Так как перед ними стоит знак «+», знаки слагаемых внутри них не меняются:
$5abc - (2a^2b - (3abc + 6ab^2 - 3a^2b))$

2. Раскрываем следующие по вложенности скобки. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:
$5abc - (2a^2b - 3abc - 6ab^2 + 3a^2b)$

3. Приводим подобные слагаемые внутри оставшихся скобок. Слагаемые $2a^2b$ и $3a^2b$ являются подобными:
$2a^2b + 3a^2b = 5a^2b$.
Выражение теперь выглядит так:
$5abc - (5a^2b - 3abc - 6ab^2)$

4. Раскрываем последние скобки. Перед ними также стоит знак «-», поэтому мы снова меняем знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$5abc - 5a^2b + 3abc + 6ab^2$

5. Приводим подобные слагаемые в финальном выражении. Слагаемые $5abc$ и $3abc$ являются подобными:
$5abc + 3abc = 8abc$.
Итоговое упрощенное выражение не содержит подобных слагаемых:
$8abc - 5a^2b + 6ab^2$

Ответ: $8abc - 5a^2b + 6ab^2$.

Нахождение значения выражения
Теперь, используя упрощенное выражение $8abc - 5a^2b + 6ab^2$, подставим в него заданные значения переменных: $a=-1$, $b=2$, $c=-2$.
$8 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) - 5 \cdot (-1)^2 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) \cdot 2^2$

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности:
Первый член: $8abc = 8 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot (-2) = -8 \cdot (-4) = 32$.
Второй член: $-5a^2b = -5 \cdot (-1)^2 \cdot 2 = -5 \cdot 1 \cdot 2 = -10$.
Третий член: $6ab^2 = 6 \cdot (-1) \cdot 2^2 = 6 \cdot (-1) \cdot 4 = -24$.

Теперь сложим полученные значения:
$32 - 10 - 24 = 22 - 24 = -2$.

Ответ: -2.

17. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов

$1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и $2.25x^4 + 0.125x^3 - 1.75x^2 - 0.2x + \frac{5}{7}$

принимает отрицательное значение.

Чтобы доказать, что разность многочленов $1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и $2,25x^4 + 0,125x^3 - 1,75x^2 - 0,2x + \frac{5}{7}$ принимает отрицательное значение при любом значении $x$, найдем эту разность.

Для удобства вычислений преобразуем все коэффициенты в обыкновенные дроби.

Коэффициенты первого многочлена: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

Коэффициенты второго многочлена: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$; $1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$; $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем разность многочленов, подставляя преобразованные коэффициенты: $(\frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{11}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}) - (\frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{7}{4}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{5}{7})$.

Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена, и приведем подобные слагаемые: $\frac{5}{4}x^4 - \frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{11}{4}x^2 + \frac{7}{4}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{7} - \frac{5}{7}$.

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях $x$: $(\frac{5-9}{4})x^4 + (\frac{1-1}{8})x^3 + (\frac{-11+7}{4})x^2 + (\frac{-1+1}{5})x + (\frac{-2-5}{7})$.

Выполним вычисления: $-\frac{4}{4}x^4 + 0 \cdot x^3 - \frac{4}{4}x^2 + 0 \cdot x - \frac{7}{7} = -x^4 - x^2 - 1$.

Итак, разность многочленов равна $-x^4 - x^2 - 1$. Теперь докажем, что это выражение всегда отрицательно. Вынесем знак минус за скобку: $-(x^4 + x^2 + 1)$.

Рассмотрим выражение в скобках $x^4 + x^2 + 1$. Для любого действительного числа $x$, значения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными, так как любая четная степень действительного числа не может быть отрицательной. То есть, $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет строго положительным. Минимальное значение выражения $x^4 + x^2 + 1$ достигается при $x=0$ и равно $0^4+0^2+1=1$. Таким образом, $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$ для всех $x$.

Поскольку выражение $(x^4 + x^2 + 1)$ всегда положительно (больше или равно 1), то умножение его на $-1$ даст в результате число, которое всегда отрицательно (меньше или равно -1). Таким образом, $-x^4 - x^2 - 1 \le -1$, что доказывает, что разность многочленов всегда принимает отрицательное значение.

Ответ: Разность многочленов равна $-x^4 - x^2 - 1$. Так как для любого значения $x$ выражения $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то сумма $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, выражение $-(x^4 + x^2 + 1) \le -1$, то есть разность всегда отрицательна.