Страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

5. Покажите с помощью стрелки, каким числом — положительным, отрицательным или нулём — является значение выражения:

$-8.4 \div (-4)$

$-18.7 \div 19.6$

$1.8 \div 2 - 0.9$

$-1 + (-1.6 \div 2)$

$-5.6 \div (-1) - 12$

$-2 - (-1.6 \div 2)$

$(0.6 - 0.7) \cdot 0$

$0.8 - (-7.2 \div 9)$

положительное число

нуль

отрицательное число

-8,4 : (-4)
Деление отрицательного числа на отрицательное число дает в результате положительное число.
$-8,4 : (-4) = 2,1$
Число 2,1 является положительным.
Ответ: положительное число.

-18,7 : 19,6
Деление отрицательного числа на положительное число дает в результате отрицательное число.
$-18,7 : 19,6 \approx -0,954$
Результат является отрицательным числом.
Ответ: отрицательное число.

1,8 : 2 - 0,9
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем вычитание.
$1,8 : 2 = 0,9$
$0,9 - 0,9 = 0$
Результат равен нулю.
Ответ: нуль.

-1 + (-1,6 : 2)
Сначала выполняем действие в скобках (деление), а затем сложение.
$-1,6 : 2 = -0,8$
$-1 + (-0,8) = -1 - 0,8 = -1,8$
Число -1,8 является отрицательным.
Ответ: отрицательное число.

-5,6 : (-1) - 12
Сначала выполняем деление, а затем вычитание.
$-5,6 : (-1) = 5,6$
$5,6 - 12 = -6,4$
Число -6,4 является отрицательным.
Ответ: отрицательное число.

-2 - (-1,6 : 2)
Сначала выполняем действие в скобках (деление), а затем вычитание.
$-1,6 : 2 = -0,8$
$-2 - (-0,8) = -2 + 0,8 = -1,2$
Число -1,2 является отрицательным.
Ответ: отрицательное число.

(0,6 - 0,7) · 0
Произведение любого числа на ноль равно нулю.
$(0,6 - 0,7) \cdot 0 = -0,1 \cdot 0 = 0$
Результат равен нулю.
Ответ: нуль.

0,8 - (-7,2 : 9)
Сначала выполняем действие в скобках (деление), а затем вычитание.
$-7,2 : 9 = -0,8$
$0,8 - (-0,8) = 0,8 + 0,8 = 1,6$
Число 1,6 является положительным.
Ответ: положительное число.

6. Из пункта А вышли одновременно два пешехода и пошли по шоссе — один со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а другой со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними через $3 \text{ ч}$, если известно, что пешеходы:

а) пошли в одном направлении;

б) пошли в противоположных направлениях?

Ответ: а) б)

а)

Если пешеходы пошли в одном направлении, то для нахождения расстояния между ними через определенное время нужно найти их скорость удаления. Скорость удаления при движении в одном направлении равна разности скоростей.

1. Найдем скорость удаления пешеходов. Пусть скорость первого пешехода $v_1 = 5 \text{ км/ч}$, а второго $v_2 = 4,5 \text{ км/ч}$.
Скорость удаления $v_{уд} = v_1 - v_2 = 5 \text{ км/ч} - 4,5 \text{ км/ч} = 0,5 \text{ км/ч}$.

2. Теперь найдем расстояние ($S$), которое будет между ними через 3 часа ($t = 3 \text{ ч}$). Для этого умножим скорость удаления на время.
$S = v_{уд} \times t = 0,5 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 1,5 \text{ км}$.

Ответ: 1,5 км.

б)

Если пешеходы пошли в противоположных направлениях, их скорость удаления будет равна сумме их скоростей, так как они оба отдаляются от начальной точки в разные стороны.

1. Найдем скорость удаления пешеходов.
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 4,5 \text{ км/ч} = 9,5 \text{ км/ч}$.

2. Теперь найдем расстояние ($S$) между ними через 3 часа ($t = 3 \text{ ч}$), умножив скорость удаления на время.
$S = v_{уд} \times t = 9,5 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 28,5 \text{ км}$.

Ответ: 28,5 км.

7. Антон наметил решить за лето 40 шахматных задач. В июне он решил $20\%$ этих задач, в июле — $25\%$ остатка. Сколько задач осталось решить Антону в августе?

Для решения задачи необходимо выполнить последовательные вычисления.

1. Вычислим количество задач, решенных в июне.
Антон запланировал решить 40 задач. В июне он решил 20% от этого числа. Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на дробь, соответствующую проценту.
$20\% = \frac{20}{100} = 0,2$
$40 \cdot 0,2 = 8$ (задач) — решено в июне.

2. Найдем количество оставшихся задач после июня.
Вычтем из общего количества задач те, что были решены в июне.
$40 - 8 = 32$ (задачи) — осталось решить после июня.

3. Вычислим количество задач, решенных в июле.
В июле Антон решил 25% от остатка. Остаток после июня составляет 32 задачи.
$25\% = \frac{25}{100} = 0,25$
$32 \cdot 0,25 = 8$ (задач) — решено в июле.

4. Найдем, сколько задач осталось решить в августе.
Для этого вычтем из количества задач, оставшихся после июня, количество задач, решенных в июле.
$32 - 8 = 24$ (задачи).

Ответ: 24 задачи.

9. Из данных многочленов выберите два многочлена, имеющие одинаковую степень.

1. $3x^2y - 4y^3 + 5;$

2. $2xyz^2 - 3y^2z + 5x;$

3. $1 - 4xy^3 + z^2;$

4. $4yz^4 - xy^2 + 16.$

Ответ: .......................... и ..........................

Чтобы выбрать два многочлена, имеющие одинаковую степень, необходимо найти степень каждого из предложенных многочленов. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

1. $3x^2y^4 - 4y^3 + 5$
Этот многочлен состоит из трех одночленов: $3x^2y^4$, $-4y^3$ и $5$.
- Степень одночлена $3x^2y^4$ равна сумме показателей степеней переменных $x$ и $y$: $2 + 4 = 6$.
- Степень одночлена $-4y^3$ равна показателю степени переменной $y$: $3$.
- Степень члена $5$ (константы) равна $0$.
Наибольшая из степеней одночленов равна 6. Следовательно, степень всего многочлена равна 6.

2. $2xyz^2 - 3y^2z + 5x$
Этот многочлен состоит из трех одночленов: $2xyz^2$, $-3y^2z$ и $5x$.
- Степень одночлена $2xyz^2$ (т.е. $2x^1y^1z^2$) равна сумме показателей степеней переменных $x, y, z$: $1 + 1 + 2 = 4$.
- Степень одночлена $-3y^2z$ (т.е. $-3y^2z^1$) равна сумме показателей степеней переменных $y, z$: $2 + 1 = 3$.
- Степень одночлена $5x$ (т.е. $5x^1$) равна показателю степени переменной $x$: $1$.
Наибольшая из степеней одночленов равна 4. Следовательно, степень всего многочлена равна 4.

3. $1 - 4xy^3 + z^2$
Этот многочлен состоит из трех одночленов: $1$, $-4xy^3$ и $z^2$.
- Степень члена $1$ (константы) равна $0$.
- Степень одночлена $-4xy^3$ (т.е. $-4x^1y^3$) равна сумме показателей степеней переменных $x, y$: $1 + 3 = 4$.
- Степень одночлена $z^2$ равна показателю степени переменной $z$: $2$.
Наибольшая из степеней одночленов равна 4. Следовательно, степень всего многочлена равна 4.

4. $4yz^4 - xy^2 + 16$
Этот многочлен состоит из трех одночленов: $4yz^4$, $-xy^2$ и $16$.
- Степень одночлена $4yz^4$ (т.е. $4y^1z^4$) равна сумме показателей степеней переменных $y, z$: $1 + 4 = 5$.
- Степень одночлена $-xy^2$ (т.е. $-x^1y^2$) равна сумме показателей степеней переменных $x, y$: $1 + 2 = 3$.
- Степень члена $16$ (константы) равна $0$.
Наибольшая из степеней одночленов равна 5. Следовательно, степень всего многочлена равна 5.

Сравнив степени всех многочленов:

• Многочлен 1 имеет степень 6.
• Многочлен 2 имеет степень 4.
• Многочлен 3 имеет степень 4.
• Многочлен 4 имеет степень 5.

Многочлены под номерами 2 и 3 имеют одинаковую степень, равную 4.

Ответ: 2 и 3.

10. Используя калькулятор, найдите значение многочлена:

а) $a^2 - 5,13$ при $a = 2,23$;

б) $x^3 + 8x$ при $x = 1,2$.

Ответ округлите до 0,01.

Ответ: а) .............. б) ..............

а) Чтобы найти значение многочлена $a^2 - 5,13$ при $a = 2,23$, необходимо подставить данное значение $a$ в выражение.

1. Подставляем значение $a$:
$2,23^2 - 5,13$

2. Возводим 2,23 в квадрат с помощью калькулятора:
$2,23^2 = 2,23 \cdot 2,23 = 4,9729$

3. Выполняем вычитание:
$4,9729 - 5,13 = -0,1571$

4. Округляем полученный результат до 0,01 (до сотых). Так как третья цифра после запятой (7) больше 5, то вторую цифру после запятой увеличиваем на 1.
$-0,1571 \approx -0,16$

Ответ: -0,16

б) Чтобы найти значение многочлена $x^3 + 8x$ при $x = 1,2$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение.

1. Подставляем значение $x$:
$(1,2)^3 + 8 \cdot 1,2$

2. Возводим 1,2 в куб с помощью калькулятора:
$(1,2)^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,728$

3. Выполняем умножение:
$8 \cdot 1,2 = 9,6$

4. Выполняем сложение:
$1,728 + 9,6 = 11,328$

5. Округляем полученный результат до 0,01 (до сотых). Так как третья цифра после запятой (8) больше 5, то вторую цифру после запятой увеличиваем на 1.
$11,328 \approx 11,33$

Ответ: 11,33

11. Составьте какой-либо трёхчлен четвёртой степени, содержащий:

а) одну переменную:

б) две переменные:

а) одну переменную:

Трёхчлен — это многочлен, который состоит из трёх слагаемых (одночленов). Степень многочлена с одной переменной определяется по наивысшему показателю степени этой переменной.

Для выполнения задания нужно составить многочлен из трёх членов, в котором наибольшая степень переменной равна 4. Пусть нашей переменной будет $x$. Чтобы степень многочлена была четвёртой, один из его членов должен содержать $x$ в четвёртой степени, например, $x^4$. Далее, добавим ещё два члена с меньшими степенями, чтобы общее количество членов стало равно трём. Например, можно добавить член второй степени $x^2$ и свободный член (нулевой степени) $1$.

Таким образом, получаем трёхчлен $x^4 + x^2 + 1$. Он удовлетворяет всем условиям:

• состоит из трёх членов ($x^4$, $x^2$, $1$);
• имеет четвёртую степень;
• содержит только одну переменную ($x$).

Ответ: $x^4 + x^2 + 1$

б) две переменные:

Для многочлена с несколькими переменными (например, $x$ и $y$) степень каждого его члена (одночлена) равна сумме показателей степеней всех входящих в него переменных. Степенью всего многочлена считается наибольшая из степеней его членов.

Нам нужно составить трёхчлен четвёртой степени, содержащий две переменные. Для этого хотя бы один из трёх его членов должен иметь степень 4. Возьмём член, в котором сумма степеней переменных $x$ и $y$ равна 4. Например, $x^2y^2$, его степень равна $2+2=4$. Теперь добавим ещё два члена, которые могут содержать эти переменные, так, чтобы их степени не превышали 4. Например, добавим член $xy$ (степень $1+1=2$) и член $y^3$ (степень 3).

В результате получаем трёхчлен $x^2y^2 + xy + y^3$. Он удовлетворяет всем условиям:

• состоит из трёх членов ($x^2y^2$, $xy$, $y^3$);
• содержит две переменные ($x$ и $y$);
• его наивысшая степень равна 4 (по члену $x^2y^2$).

Ответ: $x^2y^2 + xy + y^3$

12. Расположите члены многочлена $5x^6 - xy^2 + 3x^7y^8 - 4x^{10}y^5 - y^{12}$ по убывающим степеням:

a) переменной $x$: ................

б) переменной $y$: ................

а) переменной x:

Чтобы расположить члены многочлена $5x^6 - xy^2 + 3x^7y^8 - 4x^{10}y^5 - y^{12}$ по убывающим степеням переменной $x$, необходимо определить степень $x$ в каждом члене (одночлене) и записать их в порядке от наибольшей степени к наименьшей.

Определим степени переменной $x$ для каждого члена:
- в члене $-4x^{10}y^5$ степень $x$ равна 10;
- в члене $3x^7y^8$ степень $x$ равна 7;
- в члене $5x^6$ степень $x$ равна 6;
- в члене $-xy^2$ (или $-x^1y^2$) степень $x$ равна 1;
- в члене $-y^{12}$ переменная $x$ отсутствует, что эквивалентно $x$ в нулевой степени ($x^0=1$), поэтому степень $x$ равна 0.

Располагая члены в порядке убывания степеней $x$ (10, 7, 6, 1, 0), получаем следующий многочлен.

Ответ: $-4x^{10}y^5 + 3x^7y^8 + 5x^6 - xy^2 - y^{12}$

б) переменной y:

Чтобы расположить члены того же многочлена по убывающим степеням переменной $y$, проделаем аналогичную процедуру: найдем степень $y$ в каждом члене и запишем их в порядке от наибольшей степени к наименьшей.

Определим степени переменной $y$ для каждого члена:
- в члене $-y^{12}$ степень $y$ равна 12;
- в члене $3x^7y^8$ степень $y$ равна 8;
- в члене $-4x^{10}y^5$ степень $y$ равна 5;
- в члене $-xy^2$ степень $y$ равна 2;
- в члене $5x^6$ переменная $y$ отсутствует, что эквивалентно $y$ в нулевой степени ($y^0=1$), поэтому степень $y$ равна 0.

Располагая члены в порядке убывания степеней $y$ (12, 8, 5, 2, 0), получаем следующий многочлен.

Ответ: $-y^{12} + 3x^7y^8 - 4x^{10}y^5 - xy^2 + 5x^6$

13. Найдите значение многочлена:

а) $5x^4 - 2x^3 + 8x^2 - 12x + 5$ при $x = -2;$

б) $a^2b - 6a^3 + 8ab^2 - 2b + 2$ при $a = -2, b = 0,5.$

а) Чтобы найти значение многочлена $5x^4 - 2x^3 + 8x^2 - 12x + 5$ при $x = -2$, необходимо подставить значение $x$ в выражение.

1. Подставляем $x = -2$ в многочлен:

$5 \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 + 8 \cdot (-2)^2 - 12 \cdot (-2) + 5$

2. Вычисляем значения степеней:

$(-2)^2 = 4$

$(-2)^3 = -8$

$(-2)^4 = 16$

3. Подставляем вычисленные значения обратно в выражение:

$5 \cdot 16 - 2 \cdot (-8) + 8 \cdot 4 - 12 \cdot (-2) + 5$

4. Выполняем операции умножения:

$80 - (-16) + 32 - (-24) + 5$

5. Раскрываем скобки и выполняем сложение:

$80 + 16 + 32 + 24 + 5 = 96 + 32 + 24 + 5 = 128 + 24 + 5 = 152 + 5 = 157$

Ответ: 157

б) Чтобы найти значение многочлена $a^2b - 6a^3 + 8ab^2 - 2b + 2$ при $a = -2$ и $b = 0,5$, необходимо подставить значения переменных в выражение.

1. Подставляем $a = -2$ и $b = 0,5$ в многочлен:

$(-2)^2 \cdot 0,5 - 6 \cdot (-2)^3 + 8 \cdot (-2) \cdot (0,5)^2 - 2 \cdot 0,5 + 2$

2. Вычисляем значения степеней:

$(-2)^2 = 4$

$(-2)^3 = -8$

$(0,5)^2 = 0,25$

3. Подставляем вычисленные значения обратно в выражение:

$4 \cdot 0,5 - 6 \cdot (-8) + 8 \cdot (-2) \cdot 0,25 - 2 \cdot 0,5 + 2$

4. Выполняем операции умножения:

$2 - (-48) + (-16) \cdot 0,25 - 1 + 2$

$2 + 48 - 4 - 1 + 2$

5. Выполняем операции сложения и вычитания в порядке их следования:

$50 - 4 - 1 + 2 = 46 - 1 + 2 = 45 + 2 = 47$

Ответ: 47