Страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

13. В овощную палатку завезли картофель. В первый день продали $30\%$ всего картофеля, а во второй день — $20\%$ остатка. Требуется оценить, сколько процентов от завезённого количества составляет картофель, оставшийся после двух дней продажи. Выберите верный ответ.

1. $50\%$

2. Более $50\%$

3. Менее $50\%$

4. Оценить нельзя, не зная количества завезённого картофеля

Для решения задачи примем всё завезённое количество картофеля за 100%. Это позволяет найти ответ в процентах, не зная точного количества картофеля в килограммах.

Расчет остатка после первого дня

В первый день было продано 30% от всего картофеля. Следовательно, остаток после первого дня составляет: $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначального количества.

Расчет продаж за второй день

Во второй день продали 20% от остатка. Важно учесть, что процент берется не от первоначального количества, а от того, что осталось после первого дня (т.е. от 70%). Найдем, какую долю от первоначального количества продали во второй день: $0.20 \times 70\% = 14\%$ Таким образом, во второй день было продано 14% от всего завезённого картофеля.

Расчет итогового остатка

Чтобы найти, сколько всего картофеля осталось после двух дней, нужно из общего количества (100%) вычесть то, что было продано в первый день (30%), и то, что было продано во второй день (14%). $100\% - 30\% - 14\% = 56\%$ Либо можно из остатка после первого дня (70%) вычесть количество, проданное во второй день (14%): $70\% - 14\% = 56\%$

Выбор верного ответа

Итак, после двух дней продажи осталось 56% от первоначально завезённого количества картофеля. Теперь сравним этот результат с 50%: $56\% > 50\%$ Это означает, что верным является утверждение "Более 50%", которое соответствует варианту ответа под номером 2. Вариант 4 не подходит, так как задачу можно решить без знания исходного количества картофеля.

Ответ: 2. Более 50%

14. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 4 ч, через вторую — за 6 ч, через третью — за 5 ч. За какое время можно наполнить бассейн, если открыть три трубы?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием производительности (скорости выполнения работы). В данном случае "работа" — это наполнение бассейна. Примем весь объем бассейна за 1 (единицу).

1. Определим производительность каждой трубы, то есть какую часть бассейна каждая труба наполняет за 1 час.
Производительность первой трубы: $p_1 = \frac{1}{4}$ бассейна/час.
Производительность второй трубы: $p_2 = \frac{1}{6}$ бассейна/час.
Производительность третьей трубы: $p_3 = \frac{1}{5}$ бассейна/час.

2. Найдем общую производительность, когда все три трубы открыты одновременно. Для этого нужно сложить производительности каждой трубы:
$P_{общая} = p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{5}$

3. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 6 и 5 равно 60.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 15}{4 \times 15} = \frac{15}{60}$
$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 10}{6 \times 10} = \frac{10}{60}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 12}{5 \times 12} = \frac{12}{60}$

4. Теперь сложим полученные дроби:
$P_{общая} = \frac{15}{60} + \frac{10}{60} + \frac{12}{60} = \frac{15 + 10 + 12}{60} = \frac{37}{60}$
Таким образом, три трубы вместе наполняют $\frac{37}{60}$ часть бассейна за 1 час.

5. Чтобы найти общее время $T$, необходимое для наполнения всего бассейна (объем 1), нужно разделить объем на общую производительность:
$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{37}{60}} = \frac{60}{37}$ часа.

6. Представим результат в более удобном виде. Выделим целую часть:
$\frac{60}{37} = 1 \frac{23}{37}$ часа.
Это означает, что бассейн наполнится за 1 час и $\frac{23}{37}$ часа. Переведем дробную часть в минуты:
$\frac{23}{37} \times 60 = \frac{1380}{37} \approx 37.3$ минуты.
Таким образом, время наполнения составляет примерно 1 час 37 минут. Точный ответ — $\frac{60}{37}$ часа.

Ответ: бассейн можно наполнить за $\frac{60}{37}$ часа (или за $1 \frac{23}{37}$ часа).

15. Найдите значение выражения:

а) $3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3-1}}}$;

б) $3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}}$.

а)

Для вычисления значения данного выражения, представляющего собой цепную дробь, будем производить вычисления последовательно, начиная с самого нижнего яруса.

Исходное выражение:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - 1}}}$$

1. Выполним действие в самом внутреннем знаменателе:

$$3 - 1 = 2$$

Теперь выражение выглядит так:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{2}}}$$

2. Вычислим следующий знаменатель:

$$3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

Подставим полученное значение в выражение:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{1}{\frac{5}{2}}}$$

3. Упростим дробь $\frac{1}{\frac{5}{2}}$, "перевернув" ее:

$$\frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$$

Выражение принимает вид:

$$3 - \frac{1}{3 - \frac{2}{5}}$$.

4. Вычислим оставшийся знаменатель:

$$3 - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$$

Подставляем результат:

$$3 - \frac{1}{\frac{13}{5}}$$

5. Упрощаем дробь $\frac{1}{\frac{13}{5}}$:

$$\frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$$

6. Выполняем последнее вычитание:

$$3 - \frac{5}{13} = \frac{3 \cdot 13}{13} - \frac{5}{13} = \frac{39 - 5}{13} = \frac{34}{13}$$

Можно также представить результат в виде смешанного числа: $\frac{34}{13} = 2\frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{34}{13}$.

б)

Аналогично первому пункту, решим второе выражение, начиная с самого нижнего знаменателя.

Исходное выражение:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3 - \frac{1}{3}}}$$

1. Вычислим самый внутренний знаменатель:

$$3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$$

Выражение принимает вид:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{8}{3}}}$$

2. Упростим дробь $\frac{1}{\frac{8}{3}}$:

$$\frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8}$$

Выражение принимает вид:

$$3 + \frac{1}{3 + \frac{3}{8}}$$.

3. Вычислим оставшийся знаменатель:

$$3 + \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$$

Подставляем результат:

$$3 + \frac{1}{\frac{27}{8}}$$

4. Упрощаем дробь $\frac{1}{\frac{27}{8}}$:

$$\frac{1}{\frac{27}{8}} = \frac{8}{27}$$

5. Выполняем последнее сложение:

$$3 + \frac{8}{27} = \frac{3 \cdot 27}{27} + \frac{8}{27} = \frac{81 + 8}{27} = \frac{89}{27}$$

Можно также представить результат в виде смешанного числа: $\frac{89}{27} = 3\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{89}{27}$.

18. Упростите выражение при условии, что $a + 2b = 0$:

а) $2b \cdot 6a^2b - 10ab \cdot (-2)b^2 = $

.........................

б) $a \cdot 5ab + 6ba^3 - 12b \cdot b \cdot a - 4a^2b = $

.........................

а) $2b \cdot 6a^2b - 10ab \cdot (-2)b^2$

Сначала выполним умножение одночленов, чтобы упростить исходное выражение:

$(2 \cdot 6) \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) - (10 \cdot (-2)) \cdot a \cdot (b \cdot b^2) = 12a^2b^2 - (-20)ab^3 = 12a^2b^2 + 20ab^3$

Из условия задачи $a + 2b = 0$ выразим переменную $a$:

$a = -2b$

Теперь подставим это выражение в упрощенный многочлен $12a^2b^2 + 20ab^3$:

$12(-2b)^2b^2 + 20(-2b)b^3$

Возведем в степень и выполним умножение:

$12(4b^2)b^2 - 40b \cdot b^3 = 48b^4 - 40b^4$

Приведем подобные слагаемые:

$48b^4 - 40b^4 = 8b^4$

Ответ: $8b^4$

б) $a \cdot 5ab + 6ba^3 - 12b \cdot b \cdot a - 4a^2b$

Сначала упростим исходное выражение, перемножив одночлены и приведя подобные слагаемые:

$5a^2b + 6a^3b - 12ab^2 - 4a^2b$

Сгруппируем и вычтем подобные слагаемые $(5a^2b \text{ и } -4a^2b)$:

$(5a^2b - 4a^2b) + 6a^3b - 12ab^2 = a^2b + 6a^3b - 12ab^2$

Из условия $a + 2b = 0$ мы знаем, что $a = -2b$. Подставим это в полученное выражение:

$(-2b)^2b + 6(-2b)^3b - 12(-2b)b^2$

Выполним вычисления:

$(4b^2) \cdot b + 6(-8b^3) \cdot b + 24b \cdot b^2 = 4b^3 - 48b^4 + 24b^3$

Приведем подобные слагаемые $(4b^3 \text{ и } 24b^3)$:

$(4b^3 + 24b^3) - 48b^4 = 28b^3 - 48b^4$

Ответ: $28b^3 - 48b^4$

1. Даны два трёхчлена: $3x^4 - 6x^2 + 7$ и $x^4 + 3x^2 - 4$.

Составьте и преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) сумму этих трёхчленов: ..............

б) разность второго и первого трёхчленов: ......................

а) сумму этих трёхчленов:

Чтобы найти сумму двух трёхчленов $(3x^4 - 6x^2 + 7)$ и $(x^4 + 3x^2 - 4)$, необходимо сложить их и затем преобразовать полученное выражение в многочлен стандартного вида. Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором все подобные члены приведены, и они расположены в порядке убывания степеней переменной.

1. Запишем сумму данных трёхчленов, заключив каждый в скобки:
$(3x^4 - 6x^2 + 7) + (x^4 + 3x^2 - 4)$

2. Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$3x^4 - 6x^2 + 7 + x^4 + 3x^2 - 4$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью (в данном случае, с одинаковой степенью $x$):
$(3x^4 + x^4) + (-6x^2 + 3x^2) + (7 - 4)$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:
Для членов со степенью 4: $3x^4 + x^4 = (3+1)x^4 = 4x^4$
Для членов со степенью 2: $-6x^2 + 3x^2 = (-6+3)x^2 = -3x^2$
Для свободных членов (констант): $7 - 4 = 3$

5. Запишем итоговый многочлен, расположив члены в порядке убывания степеней:
$4x^4 - 3x^2 + 3$

Ответ: $4x^4 - 3x^2 + 3$

б) разность второго и первого трёхчленов:

Чтобы найти разность второго трёхчлена $(x^4 + 3x^2 - 4)$ и первого $(3x^4 - 6x^2 + 7)$, необходимо из второго вычесть первый.

1. Запишем разность, заключив каждый трёхчлен в скобки:
$(x^4 + 3x^2 - 4) - (3x^4 - 6x^2 + 7)$

2. Раскроем скобки. Перед первым трёхчленом знака нет, поэтому скобки просто убираем. Перед вторым трёхчленом стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:
$x^4 + 3x^2 - 4 - 3x^4 + 6x^2 - 7$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^4 - 3x^4) + (3x^2 + 6x^2) + (-4 - 7)$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:
Для членов со степенью 4: $x^4 - 3x^4 = (1-3)x^4 = -2x^4$
Для членов со степенью 2: $3x^2 + 6x^2 = (3+6)x^2 = 9x^2$
Для свободных членов (констант): $-4 - 7 = -11$

5. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:
$-2x^4 + 9x^2 - 11$

Ответ: $-2x^4 + 9x^2 - 11$

2. Упростите выражение:

а) $7.5a - (2.3a + 0.4a^3) = \ldots$

б) $(4.2x - x^2 + 6) + 0.4x^2 - (9.3x + 1.4x^2) = \ldots$

а) $7,5a - (2,3a + 0,4a^3)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки. Поскольку перед скобками стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$7,5a - (2,3a + 0,4a^3) = 7,5a - 2,3a - 0,4a^3$

Далее приводим подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью, в данном случае это $7,5a$ и $-2,3a$.

$(7,5a - 2,3a) - 0,4a^3 = (7,5 - 2,3)a - 0,4a^3 = 5,2a - 0,4a^3$

Для записи в стандартном виде расположим слагаемые по убыванию степеней переменной $a$.

$-0,4a^3 + 5,2a$

Ответ: $-0,4a^3 + 5,2a$

б) $(4,2x - x^2 + 6) + 0,4x^2 - (9,3x + 1,4x^2)$

Чтобы упростить это выражение, сначала раскроем все скобки. Первые скобки можно просто опустить, так как перед ними нет знака (что равносильно знаку "плюс"). Перед вторыми скобками стоит знак "минус", поэтому знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные.

$(4,2x - x^2 + 6) + 0,4x^2 - (9,3x + 1,4x^2) = 4,2x - x^2 + 6 + 0,4x^2 - 9,3x - 1,4x^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: слагаемые с $x^2$, слагаемые с $x$ и свободные члены (числа).

$(-x^2 + 0,4x^2 - 1,4x^2) + (4,2x - 9,3x) + 6$

Выполним вычисления в каждой группе:

Сумма коэффициентов при $x^2$: $-1 + 0,4 - 1,4 = -0,6 - 1,4 = -2$. Получаем $-2x^2$.

Сумма коэффициентов при $x$: $4,2 - 9,3 = -5,1$. Получаем $-5,1x$.

Свободный член равен $6$.

Собираем полученные слагаемые вместе, записывая многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней $x$).

$-2x^2 - 5,1x + 6$

Ответ: $-2x^2 - 5,1x + 6$

3. Докажите, что выражение $ (b^3 - 4bc) - (5 - 2bc) + (2bc - b^3) $ тождественно равно $-5$.

Для доказательства того, что выражение $(b^3 - 4bc) - (5 - 2bc) + (2bc - b^3)$ тождественно равно $-5$, необходимо его упростить. Тождественное равенство означает, что равенство верно при любых значениях входящих в него переменных.

1. Начнем с раскрытия скобок. Перед первой и третьей скобками стоит знак «+» (в первом случае он опущен), поэтому знаки слагаемых внутри них сохраняются. Перед второй скобкой стоит знак «−», поэтому знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные.
$(b^3 - 4bc) - (5 - 2bc) + (2bc - b^3) = b^3 - 4bc - 5 + 2bc + 2bc - b^3$

2. Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^3$: $(b^3 - b^3)$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие $bc$: $(-4bc + 2bc + 2bc)$.
И у нас остается числовой член: $-5$.

3. Выполним вычисления в каждой группе:
$b^3 - b^3 = 0$
$-4bc + 2bc + 2bc = -4bc + 4bc = 0$

4. Теперь соберем все части вместе:
$(b^3 - b^3) + (-4bc + 2bc + 2bc) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$

В результате упрощения мы получили $-5$. Так как значение выражения не зависит от переменных $b$ и $c$ и всегда равно $-5$, тождество доказано.

Ответ: Упрощение выражения $(b^3 - 4bc) - (5 - 2bc) + (2bc - b^3)$ приводит к результату $-5$: $b^3 - 4bc - 5 + 2bc + 2bc - b^3 = (b^3 - b^3) + (-4bc + 2bc + 2bc) - 5 = 0 + 0 - 5 = -5$. Это доказывает, что выражение тождественно равно $-5$.

4. Какой двучлен надо прибавить к многочлену $c^3 - d^3 + 4cd - 6$, чтобы полученный многочлен:

a) не содержал переменной $c$;

б) не содержал переменной $d$?

Ответ: a) .............. б) ...............

Дан многочлен $c^3 - d^3 + 4cd - 6$. Чтобы найти двучлен, который нужно прибавить к нему для выполнения заданных условий, необходимо определить члены, содержащие указанную переменную, и прибавить к многочлену выражение, им противоположное.

а) Чтобы полученный многочлен не содержал переменную $c$, нужно избавиться от всех членов, в которых она присутствует. В исходном многочлене это $c^3$ и $+4cd$.

Сумма этих членов равна $c^3 + 4cd$.

Чтобы их сумма в новом многочлене стала равной нулю, нужно прибавить противоположное выражение, то есть $-(c^3 + 4cd)$, что равно $-c^3 - 4cd$.

Проверим: $(c^3 - d^3 + 4cd - 6) + (-c^3 - 4cd) = c^3 - d^3 + 4cd - 6 - c^3 - 4cd = (c^3 - c^3) + (4cd - 4cd) - d^3 - 6 = -d^3 - 6$.

Результат не содержит переменную $c$. Следовательно, искомый двучлен — это $-c^3 - 4cd$.

Ответ: $-c^3 - 4cd$.

б) Чтобы полученный многочлен не содержал переменную $d$, нужно избавиться от всех членов, в которых она присутствует. В исходном многочлене это $-d^3$ и $+4cd$.

Сумма этих членов равна $-d^3 + 4cd$.

Чтобы их сумма в новом многочлене стала равной нулю, нужно прибавить противоположное выражение, то есть $-(-d^3 + 4cd)$, что равно $d^3 - 4cd$.

Проверим: $(c^3 - d^3 + 4cd - 6) + (d^3 - 4cd) = c^3 - d^3 + 4cd - 6 + d^3 - 4cd = c^3 + (-d^3 + d^3) + (4cd - 4cd) - 6 = c^3 - 6$.

Результат не содержит переменную $d$. Следовательно, искомый двучлен — это $d^3 - 4cd$.

Ответ: $d^3 - 4cd$.