Номер 1, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

23. Сложение и вычитание многочленов. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 1, страница 8.

Условие.

1. Даны два трёхчлена: $3x^4 - 6x^2 + 7$ и $x^4 + 3x^2 - 4$.

Составьте и преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) сумму этих трёхчленов: ..............

б) разность второго и первого трёхчленов: ......................

Решение.

Решение 2.

а) сумму этих трёхчленов:

Чтобы найти сумму двух трёхчленов $(3x^4 - 6x^2 + 7)$ и $(x^4 + 3x^2 - 4)$, необходимо сложить их и затем преобразовать полученное выражение в многочлен стандартного вида. Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором все подобные члены приведены, и они расположены в порядке убывания степеней переменной.

1. Запишем сумму данных трёхчленов, заключив каждый в скобки:
$(3x^4 - 6x^2 + 7) + (x^4 + 3x^2 - 4)$

2. Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует, что эквивалентно плюсу), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$3x^4 - 6x^2 + 7 + x^4 + 3x^2 - 4$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью (в данном случае, с одинаковой степенью $x$):
$(3x^4 + x^4) + (-6x^2 + 3x^2) + (7 - 4)$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:
Для членов со степенью 4: $3x^4 + x^4 = (3+1)x^4 = 4x^4$
Для членов со степенью 2: $-6x^2 + 3x^2 = (-6+3)x^2 = -3x^2$
Для свободных членов (констант): $7 - 4 = 3$

5. Запишем итоговый многочлен, расположив члены в порядке убывания степеней:
$4x^4 - 3x^2 + 3$

Ответ: $4x^4 - 3x^2 + 3$

б) разность второго и первого трёхчленов:

Чтобы найти разность второго трёхчлена $(x^4 + 3x^2 - 4)$ и первого $(3x^4 - 6x^2 + 7)$, необходимо из второго вычесть первый.

1. Запишем разность, заключив каждый трёхчлен в скобки:
$(x^4 + 3x^2 - 4) - (3x^4 - 6x^2 + 7)$

2. Раскроем скобки. Перед первым трёхчленом знака нет, поэтому скобки просто убираем. Перед вторым трёхчленом стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные:
$x^4 + 3x^2 - 4 - 3x^4 + 6x^2 - 7$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^4 - 3x^4) + (3x^2 + 6x^2) + (-4 - 7)$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:
Для членов со степенью 4: $x^4 - 3x^4 = (1-3)x^4 = -2x^4$
Для членов со степенью 2: $3x^2 + 6x^2 = (3+6)x^2 = 9x^2$
Для свободных членов (констант): $-4 - 7 = -11$

5. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:
$-2x^4 + 9x^2 - 11$

Ответ: $-2x^4 + 9x^2 - 11$