Номер 17, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

22. Многочлен и его стандартный вид. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 17, страница 7.

Условие.

17. Представьте многочлен в стандартном виде и найдите его числовое значение при заданных значениях переменных:

a) $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$ при $x=\frac{1}{2}$, $y=-2;$

б) $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$ при $c=-1$, $d=\frac{1}{3}.$

Решение.

Решение 2.

а) Сначала представим многочлен в стандартном виде. Для этого выполним умножение в каждом члене и приведем подобные слагаемые.
Исходный многочлен: $x \cdot 8xy - yx - y \cdot 7x^2 + 5xy^2$
Упростим каждый член:
$x \cdot 8xy = 8x^2y$
$yx = xy$
$y \cdot 7x^2 = 7x^2y$
Получаем выражение: $8x^2y - xy - 7x^2y + 5xy^2$
Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $8x^2y$ и $-7x^2y$.
$(8x^2y - 7x^2y) - xy + 5xy^2 = x^2y - xy + 5xy^2$
Стандартный вид многочлена: $x^2y - xy + 5xy^2$.
Теперь найдем его числовое значение при $x=\frac{1}{2}$ и $y=-2$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$(\frac{1}{2})^2 \cdot (-2) - (\frac{1}{2}) \cdot (-2) + 5 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot (-2) - (-\frac{2}{2}) + 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4$
$= -\frac{2}{4} - (-1) + \frac{20}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + 10 = -\frac{1}{2} + 11 = 10\frac{1}{2} = 10.5$
Ответ: $10.5$

б) Сначала представим многочлен в стандартном виде.
Исходный многочлен: $5c^2d - d \cdot 8c^3 + 9c \cdot cd^2 + 4c^3d$
Упростим каждый член:
$d \cdot 8c^3 = 8c^3d$
$9c \cdot cd^2 = 9c^2d^2$
Получаем выражение: $5c^2d - 8c^3d + 9c^2d^2 + 4c^3d$
Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными являются $-8c^3d$ и $4c^3d$.
$5c^2d + (-8c^3d + 4c^3d) + 9c^2d^2 = 5c^2d - 4c^3d + 9c^2d^2$
Стандартный вид многочлена (запишем в порядке убывания степеней $c$): $-4c^3d + 5c^2d + 9c^2d^2$.
Теперь найдем его числовое значение при $c=-1$ и $d=\frac{1}{3}$.
Подставим значения в упрощенный многочлен:
$-4(-1)^3(\frac{1}{3}) + 5(-1)^2(\frac{1}{3}) + 9(-1)^2(\frac{1}{3})^2$
$= -4(-1)(\frac{1}{3}) + 5(1)(\frac{1}{3}) + 9(1)(\frac{1}{9}) = 4 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{1}{3} + \frac{9}{9}$
$= \frac{4}{3} + \frac{5}{3} + 1 = \frac{4+5}{3} + 1 = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$
Ответ: $4$