Номер 14, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

22. Многочлен и его стандартный вид. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 14, страница 7.

Условие.

14. В многочлене $x^m y^n - xy^2 - x^2 y^4 - xy + 5$ замените показатели степени $m$ и $n$ натуральными числами так, чтобы получился многочлен: а) седьмой степени; б) третьей степени.

Укажите все возможные ответы:

а) $m=1, n=6;$

б)

Решение.

Решение 2.

а)

Степень многочлена определяется наибольшей из степеней его членов (одночленов). Дан многочлен $P(x, y) = x^m y^n - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$.

Найдем степени его членов:

• Степень члена $x^m y^n$ равна $m+n$.
• Степень члена $-xy^2$ (т.е. $-x^1y^2$) равна $1+2=3$.
• Степень члена $-x^2y^4$ равна $2+4=6$.
• Степень члена $-xy$ (т.е. $-x^1y^1$) равна $1+1=2$.
• Степень члена $5$ (свободный член) равна $0$.

Таким образом, степень всего многочлена равна наибольшему из этих значений: $\text{Степень}(P) = \max(m+n, 6, 3, 2, 0) = \max(m+n, 6)$.

Чтобы степень многочлена была равна 7, необходимо, чтобы $\max(m+n, 6) = 7$. Это возможно только в том случае, если степень члена $x^m y^n$ будет равна 7, так как это единственная степень, зависящая от $m$ и $n$, и она должна быть больше 6.

Следовательно, мы получаем уравнение: $m+n=7$.

По условию, $m$ и $n$ — натуральные числа, то есть $m \geq 1$ и $n \geq 1$. Перечислим все возможные пары $(m, n)$, удовлетворяющие этому уравнению:

• $m=1, n=6$
• $m=2, n=5$
• $m=3, n=4$
• $m=4, n=3$
• $m=5, n=2$
• $m=6, n=1$

Ответ: $m=1, n=6$; $m=2, n=5$; $m=3, n=4$; $m=4, n=3$; $m=5, n=2$; $m=6, n=1$.

б)

Чтобы степень многочлена стала равной 3, необходимо, чтобы наивысшая степень его членов была равна 3. В исходном многочлене $P(x, y) = x^m y^n - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$ есть член $-x^2y^4$, степень которого равна 6. Это означает, что для получения многочлена третьей степени этот член должен быть сокращен.

Сократить член $-x^2y^4$ можно с помощью члена $x^m y^n$. Для этого их буквенные части должны быть одинаковыми, а коэффициенты — противоположными по знаку, чтобы в сумме они дали ноль. Коэффициент у $x^m y^n$ равен $1$, а у $-x^2y^4$ равен $-1$. Значит, для их взаимного уничтожения нужно, чтобы их буквенные части совпадали: $x^m y^n$ и $x^2 y^4$.

Отсюда следует, что показатели степеней должны быть равны: $m=2$ и $n=4$. Оба числа являются натуральными, что соответствует условию задачи.

Проверим, какая степень будет у многочлена при этих значениях $m$ и $n$:

$P(x, y) = x^2 y^4 - xy^2 - x^2y^4 - xy + 5$

После сокращения подобных членов ($x^2 y^4$ и $-x^2y^4$) получаем:

$P(x, y) = -xy^2 - xy + 5$

Найдем степени оставшихся членов:

• Степень $-xy^2$ равна $1+2=3$.
• Степень $-xy$ равна $1+1=2$.
• Степень $5$ равна $0$.

Наибольшая из этих степеней равна 3. Следовательно, степень полученного многочлена действительно равна 3. Это единственная возможная пара натуральных чисел $m$ и $n$, удовлетворяющая условию.

Ответ: $m=2, n=4$.