Страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Сравните числа. Результат сравнения запишите с помощью знака $>, <$ или $=:$

а) $3,6 \Box 3\frac{2}{3}$;

б) $-6,7 \Box -6\frac{1}{2}$;

в) $5,08 \Box 5\frac{2}{25}$;

г) $-3\frac{1}{6} \Box -3,2$.

а) Чтобы сравнить числа $3,6$ и $3\frac{2}{3}$, необходимо привести их к одному виду. Представим смешанное число в виде десятичной дроби.

Для этого разделим числитель дробной части на знаменатель: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Таким образом, $3\frac{2}{3} = 3,(6)$.

Теперь сравним десятичные дроби $3,6$ и $3,(6)$. Целые части у них равны (3). Десятые доли тоже равны (6). Сравним сотые доли: у числа $3,6$ (которое можно записать как $3,60$) сотая доля равна $0$, а у числа $3,(6)$ (которое можно записать как $3,66...$) сотая доля равна $6$.

Поскольку $0 < 6$, то $3,6 < 3,(6)$.

Ответ: $3,6 < 3\frac{2}{3}$.

б) Чтобы сравнить числа $-6,7$ и $-6\frac{1}{2}$, представим смешанное число в виде десятичной дроби.

Дробная часть $\frac{1}{2}$ равна $0,5$. Следовательно, $-6\frac{1}{2} = -6,5$.

Теперь нужно сравнить два отрицательных числа: $-6,7$ и $-6,5$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним их модули: $|-6,7| = 6,7$ и $|-6,5| = 6,5$.

Так как $6,7 > 6,5$, то $-6,7 < -6,5$.

Ответ: $-6,7 < -6\frac{1}{2}$.

в) Чтобы сравнить числа $5,08$ и $5\frac{2}{25}$, представим смешанное число в виде десятичной дроби.

Чтобы преобразовать дробь $\frac{2}{25}$ в десятичную, приведем ее к знаменателю $100$. Для этого умножим числитель и знаменатель на $4$:

$\frac{2}{25} = \frac{2 \times 4}{25 \times 4} = \frac{8}{100} = 0,08$.

Таким образом, $5\frac{2}{25} = 5 + 0,08 = 5,08$.

Сравниваем $5,08$ и $5,08$. Эти числа равны.

Ответ: $5,08 = 5\frac{2}{25}$.

г) Чтобы сравнить числа $-3\frac{1}{6}$ и $-3,2$, представим смешанное число в виде десятичной дроби.

Разделим числитель дробной части на знаменатель: $1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$.

Следовательно, $-3\frac{1}{6} = -3,1(6)$.

Теперь сравним два отрицательных числа: $-3,1(6)$ и $-3,2$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Сравним их модули: $|-3,1(6)| = 3,1(6)$ и $|-3,2| = 3,2$.

Сравним десятичные дроби $3,1(6)$ и $3,2$. Целые части равны (3). Сравним десятые доли: у числа $3,1(6)$ она равна $1$, а у числа $3,2$ она равна $2$.

Поскольку $1 < 2$, то $3,1(6) < 3,2$.

Так как мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-3,1(6) > -3,2$.

Ответ: $-3\frac{1}{6} > -3,2$.

2. Поставьте знак > или <, чтобы получилось верное неравенство:

a) $85{,}15 \cdot \frac{1}{5}$ □ $85{,}15 : \frac{1}{5}$;

б) $12{,}06 - 1{,}95$ □ $12{,}06 - 3{,}18$;

в) $10{,}02 : 0{,}5$ □ $10{,}02 \cdot 0{,}5$;

г) $2{,}4 - 12{,}04$ □ $12{,}04 - 2{,}4$.

а) Чтобы сравнить выражения $85,15 \cdot \frac{1}{5}$ и $85,15 : \frac{1}{5}$, необходимо проанализировать операции, производимые с числом 85,15.

В левой части число умножается на $\frac{1}{5}$. Умножение на $\frac{1}{5}$ — это то же самое, что и деление на 5.

В правой части число делится на $\frac{1}{5}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{1}{5}$ — это $\frac{5}{1}$, или 5. Таким образом, правая часть равна $85,15 \cdot 5$.

Теперь нам нужно сравнить $85,15 \cdot \frac{1}{5}$ и $85,15 \cdot 5$. Поскольку мы умножаем положительное число 85,15 на два разных множителя, результат будет больше там, где множитель больше. Так как $5 > \frac{1}{5}$, то и $85,15 \cdot 5 > 85,15 \cdot \frac{1}{5}$.

Следовательно, $85,15 \cdot \frac{1}{5} < 85,15 : \frac{1}{5}$.

Ответ: <

б) Сравним выражения $12,06 - 1,95$ и $12,06 - 3,18$.

В обоих выражениях из одного и того же уменьшаемого (12,06) вычитаются разные вычитаемые (1,95 и 3,18).

При вычитании из одного и того же числа, чем больше вычитаемое, тем меньше будет разность. Поскольку $3,18 > 1,95$, результат вычитания 3,18 будет меньше, чем результат вычитания 1,95.

Значит, $12,06 - 1,95 > 12,06 - 3,18$.

Выполним вычисления для проверки: $12,06 - 1,95 = 10,11$, а $12,06 - 3,18 = 8,88$. Действительно, $10,11 > 8,88$.

Ответ: >

в) Сравним выражения $10,02 : 0,5$ и $10,02 \cdot 0,5$.

Десятичную дробь 0,5 можно представить как обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$.

Левая часть: $10,02 : 0,5 = 10,02 : \frac{1}{2}$. Деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2. Таким образом, левая часть равна $10,02 \cdot 2 = 20,04$.

Правая часть: $10,02 \cdot 0,5 = 10,02 \cdot \frac{1}{2}$. Умножение на $\frac{1}{2}$ эквивалентно делению на 2. Таким образом, правая часть равна $10,02 : 2 = 5,01$.

Сравниваем результаты: $20,04 > 5,01$.

Следовательно, $10,02 : 0,5 > 10,02 \cdot 0,5$.

Ответ: >

г) Сравним выражения $2,4 - 12,04$ и $12,04 - 2,4$.

В левой части из меньшего числа (2,4) вычитается большее (12,04). Результат будет отрицательным. $2,4 - 12,04 = -9,64$.

В правой части из большего числа (12,04) вычитается меньшее (2,4). Результат будет положительным. $12,04 - 2,4 = 9,64$.

Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Таким образом, $-9,64 < 9,64$.

Следовательно, $2,4 - 12,04 < 12,04 - 2,4$.

Ответ: <

3. Из чисел $-2\frac{1}{3}$, $-2,5$, $-2\frac{1}{7}$, $-2,4$, $-2,01$ выберите наибольшее.

Чтобы найти наибольшее из предложенных отрицательных чисел, нужно сравнить их между собой. Для отрицательных чисел действует правило: то число больше, модуль (абсолютная величина) которого меньше. Иными словами, наибольшее отрицательное число — это то, которое расположено ближе всего к нулю на числовой оси.

Нам даны числа: $-2\frac{1}{3}$, $-2,5$, $-2\frac{1}{7}$, $-2,4$, $-2,01$.

Для удобства сравнения переведем все числа в формат десятичных дробей.

• $-2\frac{1}{3} = -(2 + \frac{1}{3}) = -(2 + 0,333...) = -2,(3)$
• $-2,5$
• $-2\frac{1}{7} = -(2 + \frac{1}{7}) \approx -(2 + 0,1428) \approx -2,1428...$
• $-2,4$
• $-2,01$

Теперь мы имеем следующий ряд чисел в десятичном представлении: $-2,(3)$; $-2,5$; $\approx -2,1428$; $-2,4$; $-2,01$.

Теперь сравним их модули (абсолютные величины):

• $|-2,(3)| = 2,(3) = 2,333...$
• $|-2,5| = 2,5$
• $|-2,1428...| = 2,1428...$
• $|-2,4| = 2,4$
• $|-2,01| = 2,01$

Расположим модули в порядке возрастания, чтобы найти наименьший:

$2,01 < 2,1428... < 2,333... < 2,4 < 2,5$

Наименьший модуль равен $2,01$, что соответствует числу $-2,01$. Согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число с наименьшим модулем является наибольшим.

Ответ: $-2,01$

4. Из чисел $-1\frac{1}{6}$, $-1\frac{1}{3}$, $-1,7$, $-1,3$, $-1,2$ выберите наименьшее.

Для того чтобы выбрать наименьшее число из предложенного списка, необходимо сравнить их между собой. В списке есть числа, записанные как в виде смешанных дробей, так и в виде десятичных: $-1\frac{1}{6}$, $-1\frac{1}{3}$, $-1,7$, $-1,3$, $-1,2$.

Чтобы упростить сравнение, приведем все числа к единому формату — десятичным дробям.

Выполним перевод смешанных дробей в десятичные:
1. Число $-1\frac{1}{6}$. Дробная часть $\frac{1}{6}$ в десятичном виде равна $1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$. Таким образом, $-1\frac{1}{6} = -1,1(6)$.
2. Число $-1\frac{1}{3}$. Дробная часть $\frac{1}{3}$ в десятичном виде равна $1 \div 3 = 0,3333... = 0,(3)$. Таким образом, $-1\frac{1}{3} = -1,(3)$.

Теперь наш список чисел выглядит так: $-1,1(6)$, $-1,(3)$, $-1,7$, $-1,3$, $-1,2$.

Все числа в списке являются отрицательными. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль (абсолютное значение) которого больше. Иными словами, на числовой прямой меньшее число будет расположено левее, то есть дальше от нуля.

Сравним модули наших чисел:
$|-1,1(6)| = 1,1(6) \approx 1,167$
$|-1,(3)| = 1,(3) \approx 1,333$
$|-1,7| = 1,7$
$|-1,3| = 1,3$
$|-1,2| = 1,2$

Сравнивая полученные положительные числа $1,1(6)$, $1,(3)$, $1,7$, $1,3$ и $1,2$, мы видим, что наибольшим из них является $1,7$.

Так как у числа $-1,7$ наибольший модуль, оно и является наименьшим числом в исходном списке.

Ответ: $-1,7$

5. Расположите в порядке возрастания числа $-6\frac{1}{3}$, $-2,7$, $-2\frac{1}{3}$, $-5,5$, $0$, $-2$:

Чтобы расположить заданные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить между собой. Для удобства сравнения приведём все числа к одному формату — к десятичным дробям.

Исходные числа: $-6\frac{1}{3}$, $-2,7$, $-2\frac{1}{3}$, $-5,5$, $0$, $-2$.

1. Преобразование смешанных чисел в десятичные дроби.
Обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби $0,(3)$.
Тогда смешанное число $-6\frac{1}{3}$ будет равно $-(6 + \frac{1}{3}) = -(6 + 0,(3)) = -6,(3)$.
Аналогично, смешанное число $-2\frac{1}{3}$ будет равно $-(2 + \frac{1}{3}) = -(2 + 0,(3)) = -2,(3)$.
Теперь весь набор чисел в десятичном представлении выглядит так: $-6,(3)$; $-2,7$; $-2,(3)$; $-5,5$; $0$; $-2$.

2. Сравнение чисел.
Расположить числа в порядке возрастания — это значит расположить их от наименьшего к наибольшему. На числовой прямой это соответствует расположению слева направо.
Среди отрицательных чисел меньшим является то, у которого больше модуль (то есть то, которое находится дальше от нуля). Сравним модули отрицательных чисел:
$|-6,(3)| > |-5,5| > |-2,7| > |-2,(3)| > |-2|$.
Это означает, что для самих отрицательных чисел порядок будет обратным:
$-6,(3) < -5,5 < -2,7 < -2,(3) < -2$.
Число $0$ больше любого отрицательного числа, поэтому оно будет самым большим в этой последовательности.

3. Формирование итоговой последовательности.
Выстраивая все числа в порядке от наименьшего к наибольшему, получаем:
$-6,(3) < -5,5 < -2,7 < -2,(3) < -2 < 0$.
Теперь запишем эту последовательность, используя исходную форму записи чисел.

Ответ: $-6\frac{1}{3}$, $-5,5$, $-2,7$, $-2\frac{1}{3}$, $-2$, $0$.

6. Расположите в порядке убывания числа $-16,5$, $-12\frac{1}{3}$, $-24$, $0$, $-1$, $-1,5$:

Чтобы расположить числа в порядке убывания, нужно найти самое большое число, затем следующее по величине, и так до самого маленького.

В нашем наборе есть числа: $-16,5$, $-12\frac{1}{3}$, $-24$, $0$, $-1$, $-1,5$.

1. Сначала определим самое большое число. В данном списке есть одно неотрицательное число — $0$. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше. Так как других положительных чисел нет, $0$ является самым большим числом.

2. Теперь сравним оставшиеся отрицательные числа: $-16,5$, $-12\frac{1}{3}$, $-24$, $-1$, $-1,5$. Для удобства сравнения можно представить все числа в виде десятичных дробей.$-12\frac{1}{3}$ это примерно $-12,33...$.

3. При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше (то есть то, которое на числовой прямой находится ближе к нулю).Сравним модули наших отрицательных чисел:$|-1| = 1$
$|-1,5| = 1,5$
$|-12\frac{1}{3}| \approx 12,33$
$|-16,5| = 16,5$
$|-24| = 24$

Чем меньше модуль, тем больше само отрицательное число. Расположим отрицательные числа в порядке от большего к меньшему:$-1$ (самое большое, так как его модуль наименьший)
$-1,5$
$-12\frac{1}{3}$
$-16,5$
$-24$ (самое маленькое, так как его модуль наибольший)

4. Теперь запишем все числа в порядке убывания, начиная с самого большого (нуля):$0$; $-1$; $-1,5$; $-12\frac{1}{3}$; $-16,5$; $-24$.

Ответ: 0; -1; -1,5; $-12\frac{1}{3}$; -16,5; -24.

7. Сравнивая значения выражений, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте:

а) $6,8 - 3,16 < 6,8 + 3,16$;

б) $16\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} < 16\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$;

в) $8\frac{1}{3} \cdot 3 > 8\frac{1}{3} : 3$;

г) $7,2 \cdot 0,25 > 7,2 : 0,25$.

Ответ: ошибка допущена в задании ......... , должен быть знак .......... .

Для того чтобы найти ошибку, необходимо проверить верность каждого неравенства.

а) $6,8 - 3,16 < 6,8 + 3,16$

Выполним вычисления. Левая часть: $6,8 - 3,16 = 3,64$. Правая часть: $6,8 + 3,16 = 9,96$.Сравнивая результаты, получаем $3,64 < 9,96$.Неравенство верное.Ответ: верно.

б) $16\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} < 16\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$

Мы сравниваем результат умножения и деления положительного числа $16\frac{1}{2}$ на правильную дробь $\frac{3}{4}$, которая меньше 1. При умножении на число, меньшее 1, результат уменьшается, а при делении — увеличивается (деление на $\frac{3}{4}$ равносильно умножению на $\frac{4}{3} > 1$). Следовательно, $16\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ будет меньше, чем $16\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$.Проверим вычислениями:Левая часть: $16\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{33}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{99}{8} = 12\frac{3}{8}$.Правая часть: $16\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{33}{2} \cdot \frac{4}{3} = 11 \cdot 2 = 22$.Так как $12\frac{3}{8} < 22$, неравенство верное.Ответ: верно.

в) $8\frac{1}{3} \cdot 3 > 8\frac{1}{3} : 3$

Мы сравниваем результат умножения и деления положительного числа $8\frac{1}{3}$ на число $3$, которое больше 1. При умножении на число, большее 1, результат увеличивается, а при делении — уменьшается. Следовательно, произведение будет больше частного.Проверим вычислениями:Левая часть: $8\frac{1}{3} \cdot 3 = \frac{25}{3} \cdot 3 = 25$.Правая часть: $8\frac{1}{3} : 3 = \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.Так как $25 > 2\frac{7}{9}$, неравенство верное.Ответ: верно.

г) $7,2 \cdot 0,25 > 7,2 : 0,25$

Мы сравниваем результат умножения и деления положительного числа $7,2$ на число $0,25$, которое меньше 1. При умножении на число, меньшее 1, результат уменьшается, а при делении — увеличивается. Следовательно, произведение должно быть меньше частного, то есть правильный знак — "<".Проверим вычислениями:Левая часть: $7,2 \cdot 0,25 = 7,2 \cdot \frac{1}{4} = 1,8$.Правая часть: $7,2 : 0,25 = 7,2 : \frac{1}{4} = 7,2 \cdot 4 = 28,8$.Неравенство $1,8 > 28,8$ является ложным.Ответ: неверно.

Ответ: ошибка допущена в задании г, должен быть знак <.

18. В январе бригада изготовляла ежедневно $a$ деталей, в феврале — на 15% больше, чем в январе, и на $c$ деталей меньше, чем в марте. Сколько деталей изготовила бригада за первый квартал, если в январе было 15 рабочих дней, в феврале — 20, а в марте — 22 рабочих дня?

Для решения задачи нужно найти общее количество деталей, изготовленных за каждый месяц первого квартала, а затем сложить эти значения.

1. Определим количество деталей, изготовленных в январе.
Ежедневная выработка в январе — $a$ деталей.
Количество рабочих дней — 15.
Всего за январь изготовлено: $15 \cdot a = 15a$ деталей.

2. Определим количество деталей, изготовленных в феврале.
Ежедневная выработка в феврале на 15% больше, чем в январе. Это составляет $100\% + 15\% = 115\%$ от январской выработки.
Ежедневная выработка в феврале: $a \cdot \frac{115}{100} = 1,15a$ деталей.
Количество рабочих дней в феврале — 20.
Всего за февраль изготовлено: $20 \cdot 1,15a = 23a$ деталей.

3. Определим количество деталей, изготовленных в марте.
Ежедневная выработка в феврале ($1,15a$) на $c$ деталей меньше, чем в марте. Следовательно, ежедневная выработка в марте на $c$ деталей больше, чем в феврале.
Ежедневная выработка в марте: $1,15a + c$ деталей.
Количество рабочих дней в марте — 22.
Всего за март изготовлено: $22 \cdot (1,15a + c) = 22 \cdot 1,15a + 22 \cdot c = 25,3a + 22c$ деталей.

4. Найдем общее количество деталей за первый квартал, сложив выработку за все три месяца.
Общее количество = (январь) + (февраль) + (март)
Общее количество = $15a + 23a + (25,3a + 22c)$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(15 + 23 + 25,3)a + 22c = 63,3a + 22c$ деталей.

Ответ: $63,3a + 22c$

1. Выполните умножение одночлена на многочлен:

$-2x^3(4x^2 + 7x - 16) = -2x^3 \cdot 4x^2 + (-2x^3) \cdot 7x + (-2x^3) \cdot (-16) =$

$= -8x^5 - 14x^4 + 32x^3$

a) $5a (2a^2 - 8a + 4) = 5a \cdot 2a^2 - 5a \cdot 8a + 5a \cdot 4 = \dots$

б) $(6b^3 - 2b^2 + 1) \cdot (-2b) = 6b^3 \cdot (-2b) - 2b^2 \cdot (-2b) + 1 \cdot (-2b) = \dots$

в) $(-4c^2 + 0,2c) \cdot (-2,5c^4) = (-4c^2) \cdot (-2,5c^4) + 0,2c \cdot (-2,5c^4) = \dots$

а) Для того чтобы выполнить умножение одночлена на многочлен, необходимо умножить одночлен $5a$ на каждый член многочлена $(2a^2 - 8a + 4)$, а затем сложить полученные произведения. Этот приём основан на распределительном свойстве умножения.

$5a (2a^2 - 8a + 4) = 5a \cdot 2a^2 + 5a \cdot (-8a) + 5a \cdot 4$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

1. $5a \cdot 2a^2 = (5 \cdot 2) \cdot a^{1+2} = 10a^3$

2. $5a \cdot (-8a) = (5 \cdot -8) \cdot a^{1+1} = -40a^2$

3. $5a \cdot 4 = (5 \cdot 4) \cdot a = 20a$

Теперь запишем итоговый многочлен, сложив полученные результаты:

$10a^3 - 40a^2 + 20a$

Ответ: $10a^3 - 40a^2 + 20a$.

б) В данном случае необходимо умножить многочлен $(6b^3 - 2b^2 + 1)$ на одночлен $(-2b)$. Для этого каждый член многочлена умножается на одночлен, и результаты складываются.

$(6b^3 - 2b^2 + 1) \cdot (-2b) = 6b^3 \cdot (-2b) + (-2b^2) \cdot (-2b) + 1 \cdot (-2b)$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

1. $6b^3 \cdot (-2b) = (6 \cdot -2) \cdot b^{3+1} = -12b^4$

2. $(-2b^2) \cdot (-2b) = (-2 \cdot -2) \cdot b^{2+1} = 4b^3$ (произведение двух отрицательных чисел положительно)

3. $1 \cdot (-2b) = -2b$

Сложив полученные одночлены, получаем итоговый результат:

$-12b^4 + 4b^3 - 2b$

Ответ: $-12b^4 + 4b^3 - 2b$.

в) Умножим многочлен $(-4c^2 + 0.2c)$ на одночлен $(-2.5c^4)$, применив распределительное свойство.

$(-4c^2 + 0.2c) \cdot (-2.5c^4) = (-4c^2) \cdot (-2.5c^4) + (0.2c) \cdot (-2.5c^4)$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

1. $(-4c^2) \cdot (-2.5c^4) = (-4 \cdot -2.5) \cdot c^{2+4} = 10c^6$ (произведение двух отрицательных чисел положительно)

2. $(0.2c) \cdot (-2.5c^4) = (0.2 \cdot -2.5) \cdot c^{1+4} = -0.5c^5$

Сложим полученные одночлены:

$10c^6 - 0.5c^5$

Ответ: $10c^6 - 0.5c^5$.