Номер 17, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

23. Сложение и вычитание многочленов. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 17, страница 12.

Условие.

17. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов

$1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и $2.25x^4 + 0.125x^3 - 1.75x^2 - 0.2x + \frac{5}{7}$

принимает отрицательное значение.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что разность многочленов $1\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - 2\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}$ и $2,25x^4 + 0,125x^3 - 1,75x^2 - 0,2x + \frac{5}{7}$ принимает отрицательное значение при любом значении $x$, найдем эту разность.

Для удобства вычислений преобразуем все коэффициенты в обыкновенные дроби.

Коэффициенты первого многочлена: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$.

Коэффициенты второго многочлена: $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$; $1,75 = 1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$; $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем разность многочленов, подставляя преобразованные коэффициенты: $(\frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{11}{4}x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{2}{7}) - (\frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{7}{4}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{5}{7})$.

Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена, и приведем подобные слагаемые: $\frac{5}{4}x^4 - \frac{9}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{11}{4}x^2 + \frac{7}{4}x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}x - \frac{2}{7} - \frac{5}{7}$.

Сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях $x$: $(\frac{5-9}{4})x^4 + (\frac{1-1}{8})x^3 + (\frac{-11+7}{4})x^2 + (\frac{-1+1}{5})x + (\frac{-2-5}{7})$.

Выполним вычисления: $-\frac{4}{4}x^4 + 0 \cdot x^3 - \frac{4}{4}x^2 + 0 \cdot x - \frac{7}{7} = -x^4 - x^2 - 1$.

Итак, разность многочленов равна $-x^4 - x^2 - 1$. Теперь докажем, что это выражение всегда отрицательно. Вынесем знак минус за скобку: $-(x^4 + x^2 + 1)$.

Рассмотрим выражение в скобках $x^4 + x^2 + 1$. Для любого действительного числа $x$, значения $x^4$ и $x^2$ являются неотрицательными, так как любая четная степень действительного числа не может быть отрицательной. То есть, $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма $x^4 + x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет строго положительным. Минимальное значение выражения $x^4 + x^2 + 1$ достигается при $x=0$ и равно $0^4+0^2+1=1$. Таким образом, $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$ для всех $x$.

Поскольку выражение $(x^4 + x^2 + 1)$ всегда положительно (больше или равно 1), то умножение его на $-1$ даст в результате число, которое всегда отрицательно (меньше или равно -1). Таким образом, $-x^4 - x^2 - 1 \le -1$, что доказывает, что разность многочленов всегда принимает отрицательное значение.

Ответ: Разность многочленов равна $-x^4 - x^2 - 1$. Так как для любого значения $x$ выражения $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то сумма $x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, выражение $-(x^4 + x^2 + 1) \le -1$, то есть разность всегда отрицательна.