Номер 4, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

24. Умножение одночлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 4, страница 14.

Условие.

4. Докажите, что значение выражения $x^2(2x-4)-(x^3+3x^2-5x+12)-x(x^2-7x+5)$ не зависит от значения переменной x.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной $x$, необходимо это выражение упростить. Если в результате преобразований все члены, содержащие переменную $x$, взаимно уничтожатся и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Рассмотрим данное выражение:

$x^2(2x - 4) - (x^3 + 3x^2 - 5x + 12) - x(x^2 - 7x + 5)$

1. Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Умножим одночлен $x^2$ на многочлен $(2x - 4)$:$x^2(2x - 4) = x^2 \cdot 2x - x^2 \cdot 4 = 2x^3 - 4x^2$

Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знак каждого слагаемого в скобках на противоположный:$-(x^3 + 3x^2 - 5x + 12) = -x^3 - 3x^2 + 5x - 12$

Умножим одночлен $-x$ на многочлен $(x^2 - 7x + 5)$:$-x(x^2 - 7x + 5) = (-x) \cdot x^2 + (-x) \cdot (-7x) + (-x) \cdot 5 = -x^3 + 7x^2 - 5x$

2. Запишем выражение после раскрытия всех скобок.

$2x^3 - 4x^2 - x^3 - 3x^2 + 5x - 12 - x^3 + 7x^2 - 5x$

3. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной $x$:

$(2x^3 - x^3 - x^3) + (-4x^2 - 3x^2 + 7x^2) + (5x - 5x) - 12$

Выполним действия в каждой группе:

$(2 - 1 - 1)x^3 = 0 \cdot x^3 = 0$

$(-4 - 3 + 7)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$

$(5 - 5)x = 0 \cdot x = 0$

4. Запишем конечный результат.

После приведения подобных слагаемых выражение принимает вид:

$0 + 0 + 0 - 12 = -12$

Поскольку в результате упрощения мы получили число -12, которое не содержит переменную $x$, значение исходного выражения является постоянным и не зависит от значения переменной $x$.

Ответ: значение выражения равно -12 и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.