Номер 7, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

24. Умножение одночлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 7, страница 16.

Условие.

7. Справедливо ли утверждение, что при любом значении перемен-

ной $y$ значение выражения

$15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$

является положительным числом?

Решение.

Решение 2.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать полученный результат.

Исходное выражение: $15y^2(y^2 - 2y + 4) - 3y(8 - 10y^2 + 7y) + 12(3 + 2y)$.

Шаг 1: Раскрытие скобок

Последовательно раскроем скобки в каждом слагаемом, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри них.

Первое слагаемое: $15y^2(y^2 - 2y + 4) = 15y^2 \cdot y^2 - 15y^2 \cdot 2y + 15y^2 \cdot 4 = 15y^4 - 30y^3 + 60y^2$.

Второе слагаемое: $-3y(8 - 10y^2 + 7y) = -3y \cdot 8 - 3y \cdot (-10y^2) - 3y \cdot 7y = -24y + 30y^3 - 21y^2$.

Третье слагаемое: $12(3 + 2y) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 2y = 36 + 24y$.

Шаг 2: Приведение подобных членов

Теперь сложим все полученные выражения:

$(15y^4 - 30y^3 + 60y^2) + (-24y + 30y^3 - 21y^2) + (36 + 24y)$

Сгруппируем и сложим подобные члены (члены с одинаковой степенью переменной y):

$15y^4 + (-30y^3 + 30y^3) + (60y^2 - 21y^2) + (-24y + 24y) + 36$

Выполним сложение в скобках:

$15y^4 + 0 + 39y^2 + 0 + 36$

После упрощения получаем выражение:

$15y^4 + 39y^2 + 36$

Шаг 3: Анализ полученного выражения

Проанализируем выражение $15y^4 + 39y^2 + 36$, чтобы определить его знак при любом значении y.

Слагаемое $15y^4$: так как любое число, возведенное в четную степень (4), является неотрицательным ($y^4 \ge 0$), то и произведение $15y^4$ также неотрицательно ($15y^4 \ge 0$).

Слагаемое $39y^2$: аналогично, $y^2 \ge 0$ для любого y, поэтому и произведение $39y^2$ неотрицательно ($39y^2 \ge 0$).

Слагаемое 36: это константа, и она положительна ($36 > 0$).

Таким образом, всё выражение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых и одного строго положительного слагаемого. Сумма неотрицательных и положительного числа всегда будет положительным числом.

Минимальное значение выражения достигается при $y=0$, так как при этом значении оба неотрицательных слагаемых ($15y^4$ и $39y^2$) обращаются в ноль. Подставим $y=0$ в выражение:

$15(0)^4 + 39(0)^2 + 36 = 0 + 0 + 36 = 36$.

Минимальное значение выражения равно 36, что больше нуля. При любых других значениях y (то есть $y \ne 0$), значение выражения будет больше 36.

Следовательно, утверждение о том, что значение выражения является положительным числом при любом значении переменной y, справедливо.

Ответ: Да, утверждение справедливо. Значение выражения всегда является положительным числом, так как после упрощения оно равно $15y^4 + 39y^2 + 36$, что больше или равно 36 при любом значении y.