Номер 14, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

24. Умножение одночлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 14, страница 19.

Условие.

14. Выполните действия:

а) $4y^{n-1}\left(\frac{3}{8}y^{n+1} - \frac{1}{2}y\right)=$

б) $-3a^m b^m \left(-\frac{1}{6}a^{7-m} - \frac{2}{3}b^{9-m}\right)=$

Решение.

Решение 2.

а) Для того, чтобы раскрыть скобки в выражении $4y^{n-1} \left( \frac{3}{8}y^{n+1} - \frac{1}{2}y \right)$, необходимо использовать распределительное свойство умножения. Это значит, что нужно умножить множитель перед скобками $4y^{n-1}$ на каждый член внутри скобок.

1. Умножим $4y^{n-1}$ на первый член в скобках, $\frac{3}{8}y^{n+1}$:
$4y^{n-1} \cdot \frac{3}{8}y^{n+1} = \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right) \cdot \left(y^{n-1} \cdot y^{n+1}\right)$
Сначала перемножаем числовые коэффициенты:
$4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
Затем перемножаем переменные. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$y^{n-1} \cdot y^{n+1} = y^{(n-1) + (n+1)} = y^{n-1+n+1} = y^{2n}$
Результат первого умножения: $\frac{3}{2}y^{2n}$.

2. Умножим $4y^{n-1}$ на второй член в скобках, $-\frac{1}{2}y$:
$4y^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}y\right) = \left(4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \left(y^{n-1} \cdot y^1\right)$
Перемножаем числовые коэффициенты:
$4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{2} = -2$
Перемножаем переменные:
$y^{n-1} \cdot y^1 = y^{(n-1) + 1} = y^{n-1+1} = y^n$
Результат второго умножения: $-2y^n$.

3. Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить итоговое выражение:
$\frac{3}{2}y^{2n} - 2y^n$

Ответ: $\frac{3}{2}y^{2n} - 2y^n$.

б) Для раскрытия скобок в выражении $-3a^m b^m \left( -\frac{1}{6}a^{7-m} - \frac{2}{3}b^{9-m} \right)$ также применим распределительное свойство умножения. Умножим одночлен $-3a^m b^m$ на каждый из членов в скобках.

1. Умножим $-3a^m b^m$ на первый член в скобках, $-\frac{1}{6}a^{7-m}$:
$\left(-3a^m b^m\right) \cdot \left(-\frac{1}{6}a^{7-m}\right) = \left(-3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right) \cdot \left(a^m \cdot a^{7-m}\right) \cdot b^m$
Перемножаем коэффициенты:
$-3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Перемножаем степени с основанием $a$:
$a^m \cdot a^{7-m} = a^{m+(7-m)} = a^{m+7-m} = a^7$
Результат первого умножения: $\frac{1}{2}a^7 b^m$.

2. Умножим $-3a^m b^m$ на второй член в скобках, $-\frac{2}{3}b^{9-m}$:
$\left(-3a^m b^m\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}b^{9-m}\right) = \left(-3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\right) \cdot a^m \cdot \left(b^m \cdot b^{9-m}\right)$
Перемножаем коэффициенты:
$-3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{6}{3} = 2$
Перемножаем степени с основанием $b$:
$b^m \cdot b^{9-m} = b^{m+(9-m)} = b^{m+9-m} = b^9$
Результат второго умножения: $2a^m b^9$.

3. Сложим полученные результаты:
$\frac{1}{2}a^7 b^m + 2a^m b^9$

Ответ: $\frac{1}{2}a^7 b^m + 2a^m b^9$.