Номер 14, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

23. Сложение и вычитание многочленов. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 14, страница 11.

Условие.

14. Докажите, что:

а) сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

Решение.

Решение 2.

а) сумма трёх последовательных нечётных чисел делится на 3;

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое число. Возьмём три последовательных нечётных числа. Они отличаются друг от друга на 2. Удобно представить их в следующем виде: Первое число: $2k-1$ Второе число: $(2k-1)+2 = 2k+1$ Третье число: $(2k+1)+2 = 2k+3$

Найдём их сумму: $S = (2k - 1) + (2k + 1) + (2k + 3)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $S = 2k - 1 + 2k + 1 + 2k + 3 = (2k + 2k + 2k) + (-1 + 1 + 3) = 6k + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(2k + 1)$

Так как $k$ — целое число, то $2k+1$ также является целым числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 3 на целое число, следовательно, она всегда делится на 3 без остатка.

Ответ: Доказано.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел делится на 8.

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Пусть первое из них равно $2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда следующие три числа будут $2k+3$, $2k+5$ и $2k+7$.

Найдём их сумму: $S = (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + (2k + 7)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $S = (2k + 2k + 2k + 2k) + (1 + 3 + 5 + 7) = 8k + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки: $S = 8(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то $k+2$ также является целым числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 8 на целое число, следовательно, она всегда делится на 8 без остатка.

Ответ: Доказано.