Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

1. Является ли число 5 корнем уравнения:

а) $6x + 1 = 31$;

б) $18 - x = 13$;

в) $(3x - 1)(5x + 2) = 168$;

г) $(6 - x)(15 - 2x) = 25?

Для того чтобы определить, является ли число 5 корнем уравнения, необходимо подставить значение $x = 5$ в каждое из предложенных уравнений и проверить, будет ли полученное равенство верным. Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

а) $6x + 1 = 31$

Подставим $x = 5$ в левую часть уравнения:

$6 \cdot 5 + 1 = 30 + 1 = 31$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$31 = 31$

Равенство верное, следовательно, число 5 является корнем данного уравнения.

Ответ: да, является.

б) $18 - x = 13$

Подставим $x = 5$ в левую часть уравнения:

$18 - 5 = 13$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$13 = 13$

Равенство верное, следовательно, число 5 является корнем данного уравнения.

Ответ: да, является.

в) $(3x - 1)(5x + 2) = 168$

Подставим $x = 5$ в левую часть уравнения:

$(3 \cdot 5 - 1)(5 \cdot 5 + 2) = (15 - 1)(25 + 2) = 14 \cdot 27$

Вычислим произведение:

$14 \cdot 27 = 378$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$378 \neq 168$

Равенство неверное, следовательно, число 5 не является корнем данного уравнения.

Ответ: нет, не является.

г) $(6 - x)(15 - 2x) = 25$

Подставим $x = 5$ в левую часть уравнения:

$(6 - 5)(15 - 2 \cdot 5) = (1)(15 - 10) = 1 \cdot 5 = 5$

Сравним результат с правой частью уравнения:

$5 \neq 25$

Равенство неверное, следовательно, число 5 не является корнем данного уравнения.

Ответ: нет, не является.

2. Составьте какое-либо уравнение вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа:

а) корнем которого является число 8: ................

б) которое не имеет корней: ..........................

в) которое имеет бесконечно много корней: ..........................

а) корнем которого является число 8:

Нам необходимо составить уравнение вида $ax = b$, решением (корнем) которого является $x=8$. Это значит, что при подстановке значения $x=8$ в уравнение, мы должны получить верное числовое равенство:

$a \cdot 8 = b$

Мы можем выбрать любое ненулевое значение для коэффициента $a$ и на его основе вычислить соответствующее значение $b$. Например, пусть $a=2$.

Тогда $b$ будет равно:

$b = 2 \cdot 8 = 16$

Таким образом, мы получаем искомое уравнение: $2x = 16$.

Проверка: $x = 16 / 2 = 8$. Корень уравнения действительно равен 8.

Ответ: $2x=16$.

б) которое не имеет корней:

Уравнение вида $ax = b$ не имеет корней в том случае, когда оно сводится к неверному числовому равенству, не зависящему от $x$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a=0$. Тогда уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = b$

Левая часть этого уравнения всегда равна нулю, каким бы ни было значение $x$. Уравнение превращается в $0 = b$.

Если мы выберем для $b$ любое число, не равное нулю (например, $b=5$), то мы получим неверное равенство: $0 = 5$.

Так как это равенство ложно, не существует такого значения $x$, которое могло бы сделать его истинным. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: $0x=5$.

в) которое имеет бесконечно много корней:

Уравнение вида $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если оно представляет собой тождество, то есть верное равенство для любого значения переменной $x$.

Снова рассмотрим случай, когда коэффициент $a=0$. Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = b$

Левая часть всегда равна нулю. Если мы выберем значение $b$ также равным нулю ($b=0$), то получим уравнение:

$0 \cdot x = 0$

Это равенство, $0 = 0$, является истинным для абсолютно любого значения $x$. Какое бы число мы ни подставили, мы всегда получим верное тождество.

Это означает, что любое число является корнем данного уравнения, то есть оно имеет бесконечное множество корней.

Ответ: $0x=0$.

3. Имеет ли корни уравнение:

a) $2(x + 3) = 2x + 8$;

б) $15y = 32y$;

в) $6(y - 2) = 6y - 12$;

г) $5(2y + 1) = 10y + 6$?

а) Чтобы определить, имеет ли уравнение $2(x+3)=2x+8$ корни, упростим его. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 2 на каждый член в скобках:
$2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x+8$
$2x + 6 = 2x + 8$
Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x - 2x = 8 - 6$
$0 \cdot x = 2$
$0 = 2$
Полученное равенство $0=2$ является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором уравнение было бы верным. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: нет, уравнение корней не имеет.

б) Рассмотрим уравнение $15y = 32y$. Для его решения перенесем все слагаемые в одну часть, например, в левую:
$15y - 32y = 0$
Выполним вычитание:
$-17y = 0$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на -17:
$y = \frac{0}{-17}$
$y = 0$
Уравнение имеет единственный корень $y=0$.
Ответ: да, уравнение имеет один корень: $y=0$.

в) Чтобы определить, имеет ли уравнение $6(y-2)=6y-12$ корни, упростим его. Раскроем скобки в левой части:
$6 \cdot y - 6 \cdot 2 = 6y - 12$
$6y - 12 = 6y - 12$
Мы получили тождество — равенство, которое верно при любом значении переменной $y$. Если мы попробуем перенести слагаемые, то получим:
$6y - 6y = -12 + 12$
$0 = 0$
Это верное равенство, которое не зависит от $y$. Значит, любое число является решением этого уравнения.
Ответ: да, уравнение имеет бесконечно много корней (корнем является любое число).

г) Рассмотрим уравнение $5(2y+1)=10y+6$. Раскроем скобки в левой части:
$5 \cdot 2y + 5 \cdot 1 = 10y+6$
$10y + 5 = 10y + 6$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$10y - 10y = 6 - 5$
$0 \cdot y = 1$
$0 = 1$
Полученное равенство $0=1$ является ложным. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $y$.
Ответ: нет, уравнение корней не имеет.

4. Подчеркните те уравнения, которые не имеют корней:

$2(x+7)+1=15;$

$3(x-1)-4=3x;$

$15(y+2)=15y+15;$

$6(p-6)=6p-36.$

Чтобы определить, какие из представленных уравнений не имеют корней, необходимо решить каждое из них.

2(x + 7) + 1 = 15;
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 2 на каждое слагаемое в скобках:
$2 \cdot x + 2 \cdot 7 + 1 = 15$
$2x + 14 + 1 = 15$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2x + 15 = 15$
Перенесем число 15 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$2x = 15 - 15$
$2x = 0$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{0}{2}$
$x = 0$
Это уравнение имеет один корень.
Ответ: $x = 0$.

3(x - 1) - 4 = 3x;
Раскроем скобки в левой части:
$3 \cdot x - 3 \cdot 1 - 4 = 3x$
$3x - 3 - 4 = 3x$
Приведем подобные слагаемые:
$3x - 7 = 3x$
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - 3x = 7$
$0 \cdot x = 7$
$0 = 7$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным.
Ответ: корней нет.

15(y + 2) = 15y + 15;
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$15 \cdot y + 15 \cdot 2 = 15y + 15$
$15y + 30 = 15y + 15$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$15y - 15y = 15 - 30$
$0 \cdot y = -15$
$0 = -15$
Как и в предыдущем случае, мы получили неверное числовое равенство. Это значит, что уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

6(p - 6) = 6p - 36.
Раскроем скобки в левой части:
$6 \cdot p - 6 \cdot 6 = 6p - 36$
$6p - 36 = 6p - 36$
Перенесем слагаемые с переменной $p$ в одну сторону, а числа — в другую:
$6p - 6p = -36 + 36$
$0 \cdot p = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $p$. Это означает, что любое число является корнем данного уравнения.
Ответ: корнем является любое число.

Следовательно, уравнения, которые не имеют корней: 3(x - 1) - 4 = 3x и 15(y + 2) = 15y + 15.

5. Какие из чисел 8, -5, 0, 6, -1, 3 являются корнями уравнения $x^2 - x = 30$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнения $x^2 - x = 30$, необходимо подставить каждое число в уравнение вместо переменной $x$ и проверить, выполняется ли равенство.

8

Подставляем $x = 8$ в левую часть уравнения:

$8^2 - 8 = 64 - 8 = 56$

Поскольку $56 \neq 30$, число 8 не является корнем данного уравнения.

Ответ: не является.

-5

Подставляем $x = -5$ в левую часть уравнения:

$(-5)^2 - (-5) = 25 + 5 = 30$

Поскольку $30 = 30$, число -5 является корнем данного уравнения.

Ответ: является.

0

Подставляем $x = 0$ в левую часть уравнения:

$0^2 - 0 = 0 - 0 = 0$

Поскольку $0 \neq 30$, число 0 не является корнем данного уравнения.

Ответ: не является.

6

Подставляем $x = 6$ в левую часть уравнения:

$6^2 - 6 = 36 - 6 = 30$

Поскольку $30 = 30$, число 6 является корнем данного уравнения.

Ответ: является.

-1

Подставляем $x = -1$ в левую часть уравнения:

$(-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Поскольку $2 \neq 30$, число -1 не является корнем данного уравнения.

Ответ: не является.

3

Подставляем $x = 3$ в левую часть уравнения:

$3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

Поскольку $6 \neq 30$, число 3 не является корнем данного уравнения.

Ответ: не является.

Таким образом, из предложенного списка чисел корнями уравнения $x^2 - x = 30$ являются числа -5 и 6.

8. Представьте выражение в виде произведения двух двучленов:

$b^3(a-2c) + c^4(2c-a) = b^3(a-2c) - c^4(a-2c) = (a-2c)(b^3-c^4)$

а) $a^2(b-d) + c^2(b-d)= \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

б) $3y(2x-5) + 4z(5-2x)= \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

в) $(a^3-2) - b(2-a^3)= \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$

Для представления выражений в виде произведения двух двучленов используется метод вынесения общего множителя за скобки. Общим множителем в данном случае является целый двучлен.

а) В выражении $a^2(b - d) + c^2(b - d)$ оба слагаемых содержат одинаковый множитель $(b - d)$. Вынесем его за скобки. В скобках останется сумма множителей, на которые он был умножен, то есть $a^2 + c^2$.

$a^2(b - d) + c^2(b - d) = (b - d)(a^2 + c^2)$

Ответ: $(b - d)(a^2 + c^2)$

б) В выражении $3y(2x - 5) + 4z(5 - 2x)$ множители в скобках $(2x - 5)$ и $(5 - 2x)$ отличаются только знаком. Преобразуем второй множитель: $5 - 2x = -1 \cdot (2x - 5) = -(2x - 5)$.

Подставим преобразованное выражение в исходное:

$3y(2x - 5) + 4z(-(2x - 5)) = 3y(2x - 5) - 4z(2x - 5)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(2x - 5)(3y - 4z)$

Ответ: $(2x - 5)(3y - 4z)$

в) В выражении $(a^3 - 2) - b(2 - a^3)$ множители в скобках также отличаются знаком. Преобразуем второй множитель: $2 - a^3 = -(a^3 - 2)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^3 - 2) - b(-(a^3 - 2)) = (a^3 - 2) + b(a^3 - 2)$

Первый член $(a^3 - 2)$ можно представить как $1 \cdot (a^3 - 2)$. Теперь вынесем общий множитель $(a^3 - 2)$ за скобки:

$1 \cdot (a^3 - 2) + b(a^3 - 2) = (a^3 - 2)(1 + b)$

Ответ: $(a^3 - 2)(1 + b)$

9. Докажите, что:

а) $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21;

б) $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15.

а) Для того чтобы доказать, что выражение $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21, необходимо преобразовать его, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем для всех членов выражения является степень с наименьшим показателем, то есть $5^5$.

Вынесем $5^5$ за скобки:

$5^7 - 5^6 + 5^5 = 5^5(5^{7-5} - 5^{6-5} + 5^{5-5}) = 5^5(5^2 - 5^1 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$5^5 \cdot 21$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 21, то все произведение делится на 21 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $5^7 - 5^6 + 5^5$ можно представить в виде $5^5 \cdot 21$, оно делится на 21.

б) Для того чтобы доказать, что выражение $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15, поступим аналогичным образом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{15}$.

Вынесем $2^{15}$ за скобки:

$2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15} = 2^{15}(2^{18-15} + 2^{17-15} + 2^{16-15} + 2^{15-15}) = 2^{15}(2^3 + 2^2 + 2^1 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$2^{15} \cdot 15$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 15, то все произведение делится на 15 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ можно представить в виде $2^{15} \cdot 15$, оно делится на 15.

10. Найдите значение многочлена при заданных значениях переменных:

a) $20a^2b - 40ab^2 - 80a^2b^2$ при $a=-1,5, b=0,4;$

б) $5m^3n^4 - 71m^2n^3 + 6m^4n^3$ при $m=9, n=-\frac{1}{3};$

в) $18x^4y - 27x^3y^2 - 81x^2y^3$ при $x=-0,2, y=0,1.$

a) $20a^2b - 40ab^2 - 80a^2b^2$ при $a = -1,5, b = 0,4$

Для упрощения вычислений сначала упростим многочлен, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов является $20ab$.

$20a^2b - 40ab^2 - 80a^2b^2 = 20ab(a - 2b - 4ab)$

Теперь подставим заданные значения переменных $a = -1,5$ и $b = 0,4$ в упрощенное выражение.

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$a - 2b - 4ab = -1,5 - 2 \cdot 0,4 - 4 \cdot (-1,5) \cdot 0,4$

$= -1,5 - 0,8 - (-6) \cdot 0,4$

$= -1,5 - 0,8 - (-2,4)$

$= -2,3 + 2,4 = 0,1$

Затем вычислим значение множителя перед скобками:

$20ab = 20 \cdot (-1,5) \cdot 0,4 = -30 \cdot 0,4 = -12$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$-12 \cdot 0,1 = -1,2$

Ответ: $-1,2$

б) $5m^3n^4 - 71m^2n^3 + 6m^4n^3$ при $m=9, n = - \frac{1}{3}$

Для упрощения расчетов, сначала преобразуем многочлен, вынеся общий множитель за скобки. Переставим члены многочлена в порядке убывания степени переменной $m$: $6m^4n^3 + 5m^3n^4 - 71m^2n^3$.

Общий множитель для всех членов - $m^2n^3$. Вынесем его за скобки:

$m^2n^3(6m^2 + 5mn - 71)$

Подставим значения $m=9$ и $n = - \frac{1}{3}$.

Найдем значение множителя $m^2n^3$:

$m^2n^3 = 9^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = 81 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = -\frac{81}{27} = -3$

Теперь найдем значение выражения в скобках $6m^2 + 5mn - 71$:

$6 \cdot 9^2 + 5 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 71 = 6 \cdot 81 + 5 \cdot (-3) - 71$

$= 486 - 15 - 71 = 471 - 71 = 400$

Перемножим полученные результаты:

$-3 \cdot 400 = -1200$

Ответ: $-1200$

в) $18x^4y - 27x^3y^2 - 81x^2y^3$ при $x=-0,2, y=0,1$

Упростим исходный многочлен, вынеся за скобки общий множитель. Наибольший общий делитель коэффициентов 18, 27 и 81 равен 9. Общая переменная часть - $x^2y$.

$18x^4y - 27x^3y^2 - 81x^2y^3 = 9x^2y(2x^2 - 3xy - 9y^2)$

Подставим заданные значения $x = -0,2$ и $y = 0,1$.

Вычислим значение множителя $9x^2y$:

$9x^2y = 9 \cdot (-0,2)^2 \cdot 0,1 = 9 \cdot 0,04 \cdot 0,1 = 0,36 \cdot 0,1 = 0,036$

Вычислим значение выражения в скобках $2x^2 - 3xy - 9y^2$:

$2 \cdot (-0,2)^2 - 3 \cdot (-0,2) \cdot 0,1 - 9 \cdot (0,1)^2$

$= 2 \cdot 0,04 - 3 \cdot (-0,02) - 9 \cdot 0,01$

$= 0,08 - (-0,06) - 0,09$

$= 0,08 + 0,06 - 0,09 = 0,14 - 0,09 = 0,05$

Теперь перемножим полученные значения:

$0,036 \cdot 0,05 = 0,0018$

Ответ: $0,0018$