Номер 9, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

25. Вынесение общего множителя за скобки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 9, страница 23.

Условие.

9. Докажите, что:

а) $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21;

б) $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15.

Решение.

Решение 2.

а) Для того чтобы доказать, что выражение $5^7 - 5^6 + 5^5$ делится на 21, необходимо преобразовать его, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем для всех членов выражения является степень с наименьшим показателем, то есть $5^5$.

Вынесем $5^5$ за скобки:

$5^7 - 5^6 + 5^5 = 5^5(5^{7-5} - 5^{6-5} + 5^{5-5}) = 5^5(5^2 - 5^1 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$5^2 - 5 + 1 = 25 - 5 + 1 = 21$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$5^5 \cdot 21$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 21, то все произведение делится на 21 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $5^7 - 5^6 + 5^5$ можно представить в виде $5^5 \cdot 21$, оно делится на 21.

б) Для того чтобы доказать, что выражение $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ делится на 15, поступим аналогичным образом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{15}$.

Вынесем $2^{15}$ за скобки:

$2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15} = 2^{15}(2^{18-15} + 2^{17-15} + 2^{16-15} + 2^{15-15}) = 2^{15}(2^3 + 2^2 + 2^1 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:

$2^{15} \cdot 15$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 15, то все произведение делится на 15 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $2^{18} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{15}$ можно представить в виде $2^{15} \cdot 15$, оно делится на 15.