Номер 7, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

25. Вынесение общего множителя за скобки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 7, страница 22.

Условие.

7. Вынесите за скобки общий множитель и сделайте проверку:

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 = $

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) $14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех членов многочлена.

1. Находим НОД для коэффициентов 14, 21 и 70.
   Разложим числа на простые множители:
   $14 = 2 \cdot 7$
   $21 = 3 \cdot 7$
   $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
   Общий множитель для всех трех чисел - это 7. Таким образом, НОД(14, 21, 70) = 7.
2. Находим общую переменную часть для $x^3$, $x^2y^2$ и $x^4$.
   Переменная $x$ присутствует во всех членах. Выбираем наименьшую степень, в которой она встречается: $x^2$.
   Переменная $y$ есть только во втором члене, поэтому она не является общим множителем.
   Значит, общая переменная часть - это $x^2$.
3. Общий множитель всего выражения — это произведение НОД коэффициентов и общей переменной части: $7x^2$.

Теперь делим каждый член исходного многочлена на найденный общий множитель $7x^2$:

$ \frac{14x^3}{7x^2} = 2x^{3-2} = 2x $

$ \frac{-21x^2y^2}{7x^2} = -3x^{2-2}y^2 = -3y^2 $

$ \frac{70x^4}{7x^2} = 10x^{4-2} = 10x^2 $

Записываем результат, вынеся общий множитель за скобки и поместив в скобки результаты деления:

$ 14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 = 7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2) $

Проверка:

Чтобы выполнить проверку, нужно раскрыть скобки и убедиться, что получилось исходное выражение.

$ 7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2) = (7x^2 \cdot 2x) - (7x^2 \cdot 3y^2) + (7x^2 \cdot 10x^2) = 14x^3 - 21x^2y^2 + 70x^4 $

Полученное выражение совпадает с исходным, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $7x^2(2x - 3y^2 + 10x^2)$

б) $8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Находим НОД для коэффициентов 8, 12 и 16.
   Разложим на множители:
   $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
   $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
   $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
   НОД(8, 12, 16) = $2^2 = 4$.
2. Находим общую переменную часть для $a^3b^4$, $a^2b^2$ и $a^4b^3$.
   Переменная $a$ присутствует во всех членах, наименьшая степень - $a^2$.
   Переменная $b$ также присутствует во всех членах, наименьшая степень - $b^2$.
   Значит, общая переменная часть - это $a^2b^2$.
3. Общий множитель всего выражения: $4a^2b^2$.

Делим каждый член многочлена на $4a^2b^2$:

$ \frac{8a^3b^4}{4a^2b^2} = 2a^{3-2}b^{4-2} = 2ab^2 $

$ \frac{12a^2b^2}{4a^2b^2} = 3a^{2-2}b^{2-2} = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3 $

$ \frac{-16a^4b^3}{4a^2b^2} = -4a^{4-2}b^{3-2} = -4a^2b $

Записываем итоговое выражение:

$ 8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 = 4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b) $

Проверка:

Раскрываем скобки:

$ 4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b) = (4a^2b^2 \cdot 2ab^2) + (4a^2b^2 \cdot 3) - (4a^2b^2 \cdot 4a^2b) = 8a^3b^4 + 12a^2b^2 - 16a^4b^3 $

Полученное выражение совпадает с исходным, разложение верно.

Ответ: $4a^2b^2(2ab^2 + 3 - 4a^2b)$