Номер 11, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

25. Вынесение общего множителя за скобки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 11, страница 24.

Условие.

11. Вынесите общий множитель за скобки ($n$ — натуральное число):

а) $a^{3n} - 3a^n =$

б) $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y =$

в) $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1} =$

Решение.

Решение 2.

а) В выражении $a^{3n} - 3a^n$ необходимо найти общий множитель. Оба члена выражения содержат переменную $a$. Чтобы найти общий множитель, нужно выбрать переменную в наименьшей степени. Сравним степени $3n$ и $n$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $3n \ge n$. Следовательно, наименьшая степень — это $n$. Общий множитель — $a^n$.

Вынесем $a^n$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $a^n$:

$a^{3n} - 3a^n = a^n \cdot (\frac{a^{3n}}{a^n} - \frac{3a^n}{a^n})$

Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^k} = x^{m-k}$, упростим выражение в скобках:

$\frac{a^{3n}}{a^n} = a^{3n-n} = a^{2n}$

$\frac{3a^n}{a^n} = 3 \cdot a^{n-n} = 3 \cdot a^0 = 3 \cdot 1 = 3$

Таким образом, получаем итоговое выражение:

$a^n(a^{2n} - 3)$

Ответ: $a^n(a^{2n} - 3)$

б) В выражении $x^{2n+1}y + x^{2n-1}y$ оба члена содержат переменные $x$ и $y$. Общий множитель для $y$ — это $y$, так как он входит в оба члена в первой степени.

Для переменной $x$ нужно сравнить степени $2n+1$ и $2n-1$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n+1 > 2n-1$. Наименьшая степень — $2n-1$. Значит, общий множитель для $x$ — это $x^{2n-1}$.

Общий множитель всего выражения — это произведение общих множителей для каждой переменной: $x^{2n-1}y$.

Вынесем $x^{2n-1}y$ за скобки:

$x^{2n+1}y + x^{2n-1}y = x^{2n-1}y \cdot (\frac{x^{2n+1}y}{x^{2n-1}y} + \frac{x^{2n-1}y}{x^{2n-1}y})$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{x^{2n+1}y}{x^{2n-1}y} = \frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}} \cdot \frac{y}{y} = x^{(2n+1)-(2n-1)} \cdot 1 = x^{2n+1-2n+1} = x^2$

$\frac{x^{2n-1}y}{x^{2n-1}y} = 1$

В результате получаем:

$x^{2n-1}y(x^2 + 1)$

Ответ: $x^{2n-1}y(x^2 + 1)$

в) Рассмотрим выражение $c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1}$. Все три члена содержат переменную $c$. Для нахождения общего множителя необходимо выбрать $c$ в наименьшей степени.

Сравним степени: $3n+4$, $3n+2$ и $3n+1$. Так как $n$ — натуральное число, очевидно, что $3n+4 > 3n+2 > 3n+1$. Наименьшая степень — $3n+1$.

Следовательно, общий множитель — это $c^{3n+1}$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $c^{3n+1}$:

$c^{3n+4} - c^{3n+2} + c^{3n+1} = c^{3n+1} \cdot (\frac{c^{3n+4}}{c^{3n+1}} - \frac{c^{3n+2}}{c^{3n+1}} + \frac{c^{3n+1}}{c^{3n+1}})$

Упростим каждый член в скобках, используя свойство вычитания показателей при делении степеней с одинаковым основанием:

$\frac{c^{3n+4}}{c^{3n+1}} = c^{(3n+4)-(3n+1)} = c^{3n+4-3n-1} = c^3$

$\frac{c^{3n+2}}{c^{3n+1}} = c^{(3n+2)-(3n+1)} = c^{3n+2-3n-1} = c^1 = c$

$\frac{c^{3n+1}}{c^{3n+1}} = 1$

Таким образом, выражение принимает вид:

$c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$

Ответ: $c^{3n+1}(c^3 - c + 1)$