Номер 16, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

25. Вынесение общего множителя за скобки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 16, страница 25.

Условие.

16. Докажите, что разность четырёхзначных чисел $ \overline{abcd} $ и $ \overline{dcba} $ кратна 9.

Решение.

Решение 2.

Пусть даны два четырехзначных числа $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$. Чтобы доказать, что их разность кратна 9, представим каждое число в виде суммы разрядных слагаемых. В этой записи $a, b, c, d$ являются цифрами от 0 до 9, причем, поскольку числа четырехзначные, $a \neq 0$ и $d \neq 0$.

Первое число можно записать как:

$\overline{abcd} = 1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + d$

Второе число, цифры которого записаны в обратном порядке, можно записать как:

$\overline{dcba} = 1000 \cdot d + 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих чисел (предполагая, что $\overline{abcd} \ge \overline{dcba}$, в противном случае разность будет отрицательной, но все равно кратной 9):

$\overline{abcd} - \overline{dcba} = (1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми буквенными множителями:

$1000a - a + 100b - 10b + 10c - 100c + d - 1000d$

Приведем подобные слагаемые:

$999a + 90b - 90c - 999d$

Теперь вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9 \cdot (111a + 10b - 10c - 111d)$

Поскольку $a, b, c, d$ — это целые числа (цифры), то выражение в скобках $(111a + 10b - 10c - 111d)$ также является целым числом. Вся разность представляет собой произведение числа 9 на целое число, что по определению означает, что разность кратна 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: разность чисел $\overline{abcd}$ и $\overline{dcba}$ всегда кратна 9, так как она может быть представлена в виде $9 \cdot (111a + 10b - 10c - 111d)$, где выражение в скобках является целым числом.