Номер 3, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

26. Умножение многочлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 3, страница 27.

Условие.

3. Не выполняя умножения многочленов, заполните пропуски.

Произведение многочленов $4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $3x^2y - 2xy^3 + 1$

является многочленом ......... степени, содержащим ......... одночленов.

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи не требуется выполнять полное умножение многочленов. Вместо этого проанализируем свойства данных многочленов: $P_1 = 4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $P_2 = 3x^2y - 2xy^3 + 1$.

степени

Степень многочлена определяется наивысшей степенью его одночленов, а степень одночлена — это сумма показателей степеней его переменных. Сначала найдем степени исходных многочленов. Для $P_1 = 4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ степени его членов равны 3, $2+4=6$, 5 и 0. Наибольшая из них – 6, значит, степень $P_1$ равна 6. Для $P_2 = 3x^2y - 2xy^3 + 1$ степени его членов равны $2+1=3$, $1+3=4$ и 0. Наибольшая из них – 4, значит, степень $P_2$ равна 4. Степень произведения многочленов равна сумме их степеней, если произведение членов с наивысшей степенью не сокращается. В нашем случае это произведение равно $(-8x^2y^4) \cdot (-2xy^3) = 16x^3y^7$. Этот член имеет степень $3+7=10$ и не может быть сокращен, так как он уникален. Следовательно, степень результирующего многочлена равна сумме степеней исходных: $6 + 4 = 10$.

Ответ: 10-й (десятой).

одночленов

Количество одночленов в произведении (до приведения подобных) равно произведению количеств одночленов в сомножителях. Многочлен $P_1$ состоит из 4 одночленов, а многочлен $P_2$ — из 3. Таким образом, в их произведении будет $4 \times 3 = 12$ одночленов. Необходимо проверить, есть ли среди них подобные (с одинаковой буквенной частью), которые можно было бы сложить. Проанализируем буквенные части, которые получатся при умножении: от умножения на $4x^3$ получатся $x^5y, x^4y^3, x^3$; от умножения на $-8x^2y^4$ получатся $x^4y^5, x^3y^7, x^2y^4$; от умножения на $y^5$ получатся $x^2y^6, xy^8, y^5$; от умножения на 1 получатся $x^2y, xy^3$ и константа. Все 12 полученных буквенных частей различны. Следовательно, подобных членов нет, и после раскрытия скобок в многочлене останется 12 одночленов.

Ответ: 12.