Номер 10, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

26. Умножение многочлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 10, страница 30.

Условие.

10. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом произведении многочленов.

$(n-3)(n+5) = n \cdot n + 5 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 5 = n^2 + 2n - 15$

$(n+1)(n-9) = n \cdot n - 9 \cdot n + 1 \cdot n - 1 \cdot 9 = n^2 - 8n - 9$

Шаг 2: Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание.

$(n^2 + 2n - 15) - (n^2 - 8n - 9) = n^2 + 2n - 15 - n^2 + 8n + 9$

Шаг 3: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(n^2 - n^2) + (2n + 8n) + (-15 + 9) = 0 + 10n - 6 = 10n - 6$

В результате упрощения мы получили выражение $10n - 6$.

Шаг 4: Проанализируем полученное выражение на чётность. Чётным называется число, которое делится на 2 без остатка. Чтобы доказать, что $10n - 6$ является чётным, вынесем общий множитель 2 за скобки:

$10n - 6 = 2(5n - 3)$

По условию задачи, $n$ — любое натуральное число (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, произведение $5n$ также является целым числом. Разность двух целых чисел $(5n - 3)$ всегда является целым числом.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $2 \cdot k$, где $k = 5n-3$ и $k$ — целое число. По определению, любое число, которое можно представить в виде произведения двойки и целого числа, является чётным.

Следовательно, значение выражения $(n-3)(n+5)-(n+1)(n-9)$ является чётным числом при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $10n - 6$. Это выражение можно записать как $2(5n - 3)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $5n-3$ — целое число. Значит, выражение $2(5n - 3)$ всегда делится на 2, то есть является чётным при любом натуральном $n$.