Номер 16, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

26. Умножение многочлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 16, страница 32.

Условие.

16. Докажите, что при любом значении $a$:

a) значение выражения $(a-5)(a+12)-(a+3)(a+4)$ кратно 24;

б) значение выражения $(3+a^2)(5-a)-(7-a^2)(a-6)+a(a+10)$ кратно 19.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(a-5)(a+12) - (a+3)(a+4)$ кратно 24 при любом значении $a$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки в первой части выражения, перемножив многочлены:

$(a-5)(a+12) = a \cdot a + a \cdot 12 - 5 \cdot a - 5 \cdot 12 = a^2 + 12a - 5a - 60 = a^2 + 7a - 60$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения:

$(a+3)(a+4) = a \cdot a + a \cdot 4 + 3 \cdot a + 3 \cdot 4 = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12$.

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(a^2 + 7a - 60) - (a^2 + 7a + 12) = a^2 + 7a - 60 - a^2 - 7a - 12$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (7a - 7a) + (-60 - 12) = 0 + 0 - 72 = -72$.

В результате упрощения мы получили число -72. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $a$ и всегда равно -72.

5. Проверим, кратно ли число -72 числу 24:

$-72 \div 24 = -3$.

Поскольку -72 делится на 24 нацело, то и значение исходного выражения кратно 24 при любом значении $a$.

Ответ: Доказано. Значение выражения при любом $a$ равно -72, а число -72 кратно 24.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(3+a^2)(5-a) - (7-a^2)(a-6) + a(a+10)$ кратно 19 при любом значении $a$, необходимо упростить это выражение.

1. Последовательно раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $(3+a^2)(5-a) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot a + a^2 \cdot 5 - a^2 \cdot a = 15 - 3a + 5a^2 - a^3$.

Второе слагаемое (вычитаемое): $(7-a^2)(a-6) = 7 \cdot a + 7 \cdot (-6) - a^2 \cdot a - a^2 \cdot (-6) = 7a - 42 - a^3 + 6a^2$.

Третье слагаемое: $a(a+10) = a^2 + 10a$.

2. Подставим раскрытые выражения в исходное:

$(15 - 3a + 5a^2 - a^3) - (7a - 42 - a^3 + 6a^2) + (a^2 + 10a)$.

3. Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед вторым слагаемым:

$15 - 3a + 5a^2 - a^3 - 7a + 42 + a^3 - 6a^2 + a^2 + 10a$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $a$:

Слагаемые с $a^3$: $-a^3 + a^3 = 0$.

Слагаемые с $a^2$: $5a^2 - 6a^2 + a^2 = (5 - 6 + 1)a^2 = 0$.

Слагаемые с $a$: $-3a - 7a + 10a = (-3 - 7 + 10)a = 0$.

Свободные члены (константы): $15 + 42 = 57$.

В результате упрощения мы получили число 57. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $a$ и всегда равно 57.

5. Проверим, кратно ли число 57 числу 19:

$57 \div 19 = 3$.

Поскольку 57 делится на 19 нацело, то и значение исходного выражения кратно 19 при любом значении $a$.

Ответ: Доказано. Значение выражения при любом $a$ равно 57, а число 57 кратно 19.