Номер 4, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

27. Разложение многочлена на множители способом группировки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 4, страница 34.

Условие.

4. Припишите к данному выражению такой двучлен, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители способом группировки, и выполните разложение на множители:

а) $cx+dx+ac$

б) $y^2-ay+ad$

в) $ab-b-ay$

г) $x^2-ab+bx$

Решение.

Решение 2.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, как правило, требуется четное количество слагаемых (чаще всего четыре). Исходные выражения содержат по три слагаемых. Добавление двучлена (выражения из двух слагаемых) привело бы к пяти слагаемым, что не подходит для стандартного метода группировки. Поэтому будем решать задачу в предположении, что нужно приписать одночлен, чтобы получить многочлен из четырех слагаемых, который можно разложить на множители.

а) Дано выражение $cx + dx + ac$.
Сгруппируем первые два члена: $cx + dx = x(c+d)$. Чтобы группировка была успешной, вторая пара слагаемых также должна содержать множитель $(c+d)$. У нас есть член $ac$. Если вторым членом в паре будет $ad$, то получим $ac+ad = a(c+d)$. Значит, нужно добавить одночлен $ad$.
Полученный многочлен: $cx + dx + ac + ad$.
Выполним разложение на множители:
$(cx + dx) + (ac + ad) = x(c+d) + a(c+d) = (x+a)(c+d)$.
Ответ: нужно приписать $ad$; разложение: $(x+a)(c+d)$.

б) Дано выражение $y^2 - ay + ad$.
Чтобы подобрать четвертый член для группировки, рассмотрим первые два: $y^2 - ay = y(y-a)$. Вторая пара слагаемых должна иметь общий множитель $(y-a)$. У нас есть слагаемое $ad$. Чтобы получить множитель $(y-a)$ из пары $(ad + ?)$, нужно, чтобы эта пара была равна $k(y-a) = ky - ka$. Сравнивая $-ka$ с $ad$, находим, что $k=-d$. Тогда недостающий член $? = ky = -dy$.
Добавим одночлен $-dy$ и выполним разложение:
$y^2 - ay + ad - dy = (y^2 - ay) + (ad - dy) = y(y-a) + d(a-y) = y(y-a) - d(y-a) = (y-d)(y-a)$.
Ответ: нужно приписать $-dy$; разложение: $(y-d)(y-a)$.

в) Дано выражение $ab - b - ay$.
Сгруппируем первые два члена: $ab - b = b(a-1)$. Вторая пара слагаемых должна также содержать множитель $(a-1)$. У нас есть член $-ay$. Нам нужно выражение вида $k(a-1) = ka - k$. Сравнивая $ka$ с $-ay$, получаем $k=-y$. Тогда недостающий член должен быть $-k = -(-y) = y$.
Получаем многочлен $ab - b - ay + y$.
Разложим его на множители:
$ab - b - ay + y = (ab - b) + (-ay + y) = b(a-1) - y(a-1) = (b-y)(a-1)$.
Ответ: нужно приписать $y$; разложение: $(b-y)(a-1)$.

г) Дано выражение $x^2 - ab + bx$.
Переставим члены для удобства: $x^2 + bx - ab$. Сгруппируем первые два: $x^2 + bx = x(x+b)$. Вторая пара слагаемых должна также содержать множитель $(x+b)$. У нас есть член $-ab$. Нам нужно выражение вида $k(x+b) = kx + kb$. Сравнивая $kb$ с $-ab$, получаем $k=-a$. Тогда недостающий член должен быть $kx = -ax$.
Получаем многочлен $x^2 + bx - ab - ax$.
Разложим его на множители, перегруппировав слагаемые:
$x^2 - ax + bx - ab = (x^2 - ax) + (bx - ab) = x(x-a) + b(x-a) = (x+b)(x-a)$.
Ответ: нужно приписать $-ax$; разложение: $(x+b)(x-a)$.