Номер 9, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

27. Разложение многочлена на множители способом группировки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 9, страница 36.

Условие.

9. Докажите, что если $a$ и $b$ — целые числа, разность которых кратна 11, то значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ также кратно 11.

Решение.

Решение 2.

Согласно условию задачи, $a$ и $b$ являются целыми числами, и их разность $(a - b)$ делится на 11 без остатка. Это можно записать в виде равенства: $a - b = 11k$, где $k$ — некоторое целое число.

Нам необходимо доказать, что значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ также кратно 11. Для этого преобразуем данный многочлен, применив метод группировки слагаемых:

$6a^2 - 5a - 6ab + 5b = (6a^2 - 6ab) - (5a - 5b)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$6a(a - b) - 5(a - b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - b)$, который также можно вынести за скобки:

$(a - b)(6a - 5)$

Подставим в полученное выражение известное нам из условия равенство $a - b = 11k$:

$(11k)(6a - 5) = 11 \cdot k \cdot (6a - 5)$

Поскольку $a$ — целое число, то выражение $(6a - 5)$ также является целым числом. Произведение целых чисел $k$ и $(6a - 5)$ также является целым числом. Следовательно, исходное выражение можно представить в виде произведения числа 11 на целое число, что по определению означает, что значение многочлена $6a^2 - 5a - 6ab + 5b$ кратно 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.