Номер 14, страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

27. Разложение многочлена на множители способом группировки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 14, страница 37.

Условие.

14. Представьте трёхчлен в виде произведения двух двучленов, заменив предварительно его средний член суммой или разностью одночленов:

$c^2 + 5c - 24 = c^2 + 8c - 3c - 24 = c(c+8) - 3(c+8) = (c+8)(c-3)$

а) $a^2 + 9a + 20 = a^2 + 5a + 4a + 20 = $

б) $x^2 - 7x + 10 = $

в) $y^2 + 3y - 4 = $

Решение.

Решение 2.

а) $a^2 + 9a + 20$

Для разложения данного трёхчлена на множители необходимо представить средний член $9a$ в виде суммы двух одночленов. Искомые коэффициенты должны в сумме давать 9, а в произведении 20. Этими числами являются 4 и 5, так как $4 + 5 = 9$ и $4 \cdot 5 = 20$.

Следуя примеру, данному в задании, продолжим предложенное разложение:

$a^2 + 5a + 4a + 20 = (a^2 + 5a) + (4a + 20)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из двух групп:

$a(a + 5) + 4(a + 5)$

Наконец, вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(a + 5)$ за скобки:

$(a + 5)(a + 4)$

Ответ: $(a + 5)(a + 4)$.

б) $x^2 - 7x + 10$

Представим средний член $-7x$ в виде суммы. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна -7, а произведение — 10. Поскольку сумма отрицательна, а произведение положительно, оба числа должны быть отрицательными. Это числа -2 и -5, так как $(-2) + (-5) = -7$ и $(-2) \cdot (-5) = 10$.

Заменим $-7x$ на $-2x - 5x$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10 = (x^2 - 2x) + (-5x + 10) = x(x - 2) - 5(x - 2) = (x - 2)(x - 5)$

Ответ: $(x - 2)(x - 5)$.

в) $y^2 + 3y - 4$

Представим средний член $3y$ в виде суммы. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 3, а произведение — -4. Поскольку произведение отрицательно, числа имеют разные знаки. Поскольку сумма положительна, положительное число имеет больший модуль. Это числа 4 и -1, так как $4 + (-1) = 3$ и $4 \cdot (-1) = -4$.

Заменим $3y$ на $4y - y$ и выполним разложение на множители методом группировки:

$y^2 + 3y - 4 = y^2 + 4y - y - 4 = (y^2 + 4y) + (-y - 4) = y(y + 4) - 1(y + 4) = (y + 4)(y - 1)$

Ответ: $(y + 4)(y - 1)$.