Номер 7, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

27. Разложение многочлена на множители способом группировки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 7, страница 35.

Условие.

7. Разложите многочлен на множители:

a) $x^3 + x^2 + x + 1 = $

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3 = $

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3 = $

Решение.

Решение 2.

a) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения данного многочлена на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвертым.

$(x^3 + x^2) + (x + 1)$

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель. В первой группе общим множителем является $x^2$, во второй — 1.

$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Как видим, оба получившихся слагаемых имеют общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 1)(x^2 + 1)$

Дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно, так как выражение $x^2+1$ не имеет действительных корней.
Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$.

б) $2 - 5y + 2y^2 - 5y^3$

Для разложения этого многочлена на множители также используем метод группировки. Для удобства переставим слагаемые, сгруппировав члены с коэффициентом 2 и члены с коэффициентом -5.

$(2 + 2y^2) + (-5y - 5y^3)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем 2, а из второй — $-5y$.

$2(1 + y^2) - 5y(1 + y^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(1 + y^2)$, который можно вынести за скобки.

$(1 + y^2)(2 - 5y)$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители.
Ответ: $(1 + y^2)(2 - 5y)$.

в) $4z - 3 - 3z^2 + 4z^3$

Сначала расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $z$.

$4z^3 - 3z^2 + 4z - 3$

Теперь применим метод группировки, объединив первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(4z^3 - 3z^2) + (4z - 3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $z^2$, во второй — 1.

$z^2(4z - 3) + 1(4z - 3)$

Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(4z - 3)$. Вынесем его за скобки.

$(4z - 3)(z^2 + 1)$

Многочлен разложен на множители.
Ответ: $(4z - 3)(z^2 + 1)$.