Номер 4, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 4, страница 39.

Условие.

4. Не вычисляя значения выражения, сравните его с единицей:

а) $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} \square 1;$

б) $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} \square 1.$

Решение.

Решение 2.

a)

Чтобы сравнить выражение $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2}$ с единицей, не выполняя вычислений, воспользуемся алгебраическими преобразованиями.
Введем переменные для удобства: пусть $a = 276$ и $b = 143$. Так как оба числа положительны ($a > 0, b > 0$), их произведение также будет положительным.
Исходное выражение можно записать в виде $\frac{a^2 + b^2}{(a+b)^2}$.
Раскроем знаменатель по формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Тогда наша дробь примет вид: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$.
Сравним числитель и знаменатель этой дроби.
Числитель равен $a^2 + b^2$.
Знаменатель равен $a^2 + b^2 + 2ab$.
Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, слагаемое $2ab$ является положительным числом ($2 \cdot 276 \cdot 143 > 0$).
Следовательно, знаменатель больше числителя: $a^2 + 2ab + b^2 > a^2 + b^2$.
В дроби с положительным числителем и положительным знаменателем, если числитель меньше знаменателя, то значение дроби меньше 1.
Таким образом, $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} < 1$.
Ответ: $\frac{276^2 + 143^2}{(276 + 143)^2} < 1$.

б)

Сравним выражение $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2}$ с единицей.
Введем переменные: пусть $a = 4,17$ и $b = 3,94$. Оба числа положительны ($a > 0, b > 0$) и $a \neq b$.
Выражение можно представить как $\frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2}$.
Раскроем числитель по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Тогда наша дробь примет вид: $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2}$.
Сравним числитель и знаменатель.
Числитель: $a^2 - 2ab + b^2$.
Знаменатель: $a^2 + b^2$.
Так как $a$ и $b$ — положительные числа, слагаемое $2ab$ также положительно.
В числителе из суммы $a^2 + b^2$ вычитается положительное число $2ab$, а в знаменателе стоит сама сумма $a^2 + b^2$.
Следовательно, числитель меньше знаменателя: $a^2 - 2ab + b^2 < a^2 + b^2$.
Числитель $(a-b)^2$ положителен, так как $a \neq b$. Знаменатель $a^2 + b^2$ также является положительным числом (сумма квадратов положительных чисел).
В дроби с положительным числителем и положительным знаменателем, если числитель меньше знаменателя, то значение дроби меньше 1.
Таким образом, $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} < 1$.
Ответ: $\frac{(4,17 - 3,94)^2}{4,17^2 + 3,94^2} < 1$.