Номер 9, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 41.

Условие.

9. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) $( \dots + 7b)^2 = a^2 + 14ab + \dots \; $

б) $( \dots - x)^2 = \dots - 10ax + x^2 \; $

в) $( \dots + p)^2 = 9a^2 + \dots + \dots \; $

г) $(x - \dots)^2 = \dots - \dots + 16y^2.$

Решение.

Решение 2.

а) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

В выражении $(... + 7b)^2 = a^2+14ab+...$ обозначим первый пропущенный одночлен в скобках как $A_1$, а пропущенный член в правой части как $B_1$.

Раскроем скобки в левой части по формуле: $(A_1+7b)^2 = A_1^2 + 2 \cdot A_1 \cdot (7b) + (7b)^2 = A_1^2 + 14A_1b + 49b^2$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью тождества $a^2+14ab+B_1$.

Приравнивая соответствующие члены, получаем: $A_1^2 = a^2$, следовательно, $A_1 = a$.

Удвоенное произведение $14A_1b$ при $A_1 = a$ равно $14ab$, что соответствует среднему члену в правой части.

Свободный член $B_1$ должен быть равен $(7b)^2 = 49b^2$.

Таким образом, в скобках пропущен одночлен $a$, а в правой части — $49b^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $a$ и $49b^2$.

б) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

В выражении $(... - x)^2 = ... - 10ax + x^2$ обозначим первый пропущенный одночлен в скобках как $A_1$, а первый пропущенный член в правой части как $B_1$.

Раскроем скобки в левой части по формуле: $(A_1-x)^2 = A_1^2 - 2 \cdot A_1 \cdot x + x^2$.

Сравним это с правой частью $B_1 - 10ax + x^2$.

Приравнивая средние члены (удвоенное произведение), получаем: $-2A_1x = -10ax$. Отсюда $2A_1 = 10a$, и $A_1 = 5a$.

Первый член в правой части $B_1$ должен быть равен $A_1^2$. Подставив найденное значение $A_1$, получаем $B_1 = (5a)^2 = 25a^2$.

Таким образом, в скобках пропущен одночлен $5a$, а в правой части — $25a^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $5a$ и $25a^2$.

в) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$.

В выражении $(... + p)^2 = 9a^2 + ... + ...$ обозначим пропуски последовательно как $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Раскроем левую часть $(A_1+p)^2$ по формуле: $A_1^2 + 2A_1p + p^2$.

Сравним это с правой частью $9a^2 + B_1 + C_1$.

Приравнивая первые члены, получаем: $A_1^2 = 9a^2$, откуда $A_1 = 3a$.

Теперь, зная $A_1$, найдем остальные члены в правой части. Средний член $B_1$ равен удвоенному произведению $2A_1p = 2 \cdot (3a) \cdot p = 6ap$.

Последний член $C_1$ равен квадрату второго слагаемого в скобках, то есть $p^2$.

Таким образом, пропущенные одночлены: $3a$, $6ap$ и $p^2$.

Ответ: пропущенные одночлены — $3a$, $6ap$ и $p^2$.

г) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

В выражении $(x - ...)^2 = ... - ... + 16y^2$ обозначим пропуски последовательно как $A_1$, $B_1$ и $C_1$.

Левая часть $(x-A_1)^2$ раскрывается по формуле как $x^2 - 2xA_1 + A_1^2$.

Сравним это с правой частью $B_1 - C_1 + 16y^2$.

Приравнивая последние члены, получаем: $A_1^2 = 16y^2$, откуда $A_1=4y$.

Теперь найдем пропущенные члены в правой части. Первый член $B_1$ должен быть равен квадрату первого члена в скобках, то есть $x^2$.

Второй пропущенный член $C_1$ соответствует удвоенному произведению $2xA_1$. Подставив $A_1=4y$, получаем $C_1 = 2x(4y) = 8xy$. Знак минус уже стоит в выражении.

Таким образом, пропущенные одночлены: $4y$, $x^2$ и $8xy$.

Ответ: пропущенные одночлены — $4y$, $x^2$ и $8xy$.