Номер 16, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 16, страница 43.

Условие.

16. Упростите выражение:

а) $(a+5)^3-(a-5)^3=$ ................

................

б) $(x-y)^3+3xy(x-y)=$ ................

Решение.

Решение 2.

а) $(a + 5)^3 - (a - 5)^3$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Куб суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Куб разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Применим эти формулы к нашему выражению.

Сначала раскроем первую скобку, где $x=a$ и $y=5$:

$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$

Теперь раскроем вторую скобку, где $x=a$ и $y=5$:

$(a - 5)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 - 5^3 = a^3 - 15a^2 + 75a - 125$

Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание. Важно не забыть поменять знаки во втором выражении, так как перед ним стоит минус.

$(a^3 + 15a^2 + 75a + 125) - (a^3 - 15a^2 + 75a - 125) = a^3 + 15a^2 + 75a + 125 - a^3 + 15a^2 - 75a + 125$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (15a^2 + 15a^2) + (75a - 75a) + (125 + 125) = 0 + 30a^2 + 0 + 250 = 30a^2 + 250$

Ответ: $30a^2 + 250$

б) $(x - y)^3 + 3xy(x - y)$

Для упрощения этого выражения можно пойти двумя путями: раскрыть все скобки или вынести общий множитель.

Способ 1: Раскрытие скобок

Раскроем куб разности по формуле $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и раскроем второе слагаемое, умножив $3xy$ на скобку $(x - y)$.

$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

$3xy(x - y) = 3xy \cdot x - 3xy \cdot y = 3x^2y - 3xy^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (3x^2y - 3xy^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 - 3x^2y + 3x^2y + 3xy^2 - 3xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$

Способ 2: Вынесение общего множителя

Заметим, что $(x - y)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(x - y) \cdot ((x - y)^2 + 3xy)$

Теперь раскроем квадрат разности внутри больших скобок по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - y) \cdot (x^2 - 2xy + y^2 + 3xy)$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x - y) \cdot (x^2 + xy + y^2)$

Полученное выражение является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $x^3 - y^3$