Номер 1, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 1, страница 44.

Условие.

1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

$121x^2 + 66x + 9 = (11x)^2 + 2 \cdot 11x \cdot 3 + 3^2 = (11x + 3)^2$

а) $y^2 - 18y + 81 = \ldots$

б) $p^2 - 1,2p + 0,36 = \ldots$

в) $36m^2 + n^2 + 12mn = \ldots$

г) $-12ab + 9a^2 + 4b^2 = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) $y^2 - 18y + 81$

Чтобы представить данный трёхчлен в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. Определим, что в нашем выражении $y^2 - 18y + 81$ может быть $a$ и $b$.
Первый член $y^2$ является квадратом от $y$. Значит, можно предположить, что $a = y$.
Третий член $81$ является квадратом от $9$, так как $9^2 = 81$. Значит, можно предположить, что $b = 9$.
2. Проверим, соответствует ли средний член $-18y$ удвоенному произведению $-2ab$.
Подставим наши значения $a$ и $b$: $-2 \cdot y \cdot 9 = -18y$.
Это в точности совпадает со средним членом нашего трёхчлена.
3. Таким образом, мы можем записать исходный трёхчлен в виде квадрата разности:
$y^2 - 18y + 81 = (y)^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = (y - 9)^2$.

Ответ: $(y - 9)^2$

б) $p^2 - 1,2p + 0,36$

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. В выражении $p^2 - 1,2p + 0,36$ определим $a$ и $b$.
Первый член $p^2$ — это квадрат от $p$. Значит, $a = p$.
Третий член $0,36$ — это квадрат от $0,6$, так как $(0,6)^2 = 0,36$. Значит, $b = 0,6$.
2. Проверим средний член $-1,2p$. Он должен быть равен $-2ab$.
$-2 \cdot p \cdot 0,6 = -1,2p$.
Совпадение полное.
3. Записываем трёхчлен как квадрат разности:
$p^2 - 1,2p + 0,36 = (p)^2 - 2 \cdot p \cdot 0,6 + (0,6)^2 = (p - 0,6)^2$.

Ответ: $(p - 0,6)^2$

в) $36m^2 + n^2 + 12mn$

Сначала для удобства переставим члены, чтобы они соответствовали стандартному виду формулы: $36m^2 + 12mn + n^2$.
Здесь мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
1. В выражении $36m^2 + 12mn + n^2$ определим $a$ и $b$.
Первый член $36m^2$ является квадратом от $6m$, так как $(6m)^2 = 36m^2$. Значит, $a = 6m$.
Третий член $n^2$ является квадратом от $n$. Значит, $b = n$.
2. Проверим средний член $12mn$. Он должен быть равен $2ab$.
$2 \cdot (6m) \cdot n = 12mn$.
Средний член совпадает.
3. Записываем результат:
$36m^2 + 12mn + n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot n + n^2 = (6m + n)^2$.

Ответ: $(6m + n)^2$

г) $-12ab + 9a^2 + 4b^2$

Перегруппируем члены, чтобы получить стандартный вид трёхчлена: $9a^2 - 12ab + 4b^2$.
Это выражение похоже на квадрат разности, поэтому используем формулу: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
1. В выражении $9a^2 - 12ab + 4b^2$ определим слагаемые для двучлена.
Первый член $9a^2$ является квадратом от $3a$, так как $(3a)^2 = 9a^2$. Значит, $x = 3a$.
Третий член $4b^2$ является квадратом от $2b$, так как $(2b)^2 = 4b^2$. Значит, $y = 2b$.
2. Проверим средний член $-12ab$. Он должен быть равен $-2xy$.
$-2 \cdot (3a) \cdot (2b) = -12ab$.
Средний член совпадает.
3. Записываем трёхчлен как квадрат разности:
$9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (3a - 2b)^2$.
(Также верным был бы ответ $(2b - 3a)^2$, так как $(x-y)^2 = (y-x)^2$).

Ответ: $(3a - 2b)^2$