Номер 15, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 15, страница 43.

Условие.

15. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2(x+1);$

б) $(5x-1)^3 = 25x^2(5x-3).$

Решение.

Решение 2.

а)

Исходное уравнение: $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1)$.

Для решения раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$.

Правая часть: раскроем скобки, умножив $27x^2$ на каждый член в скобках.
$27x^2(x + 1) = 27x^2 \cdot x + 27x^2 \cdot 1 = 27x^3 + 27x^2$.

Теперь приравняем полученные выражения:
$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2$.

Вычтем из обеих частей уравнения $27x^3$ и $27x^2$.
$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 - 27x^3 - 27x^2 = 0$
$9x + 1 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:
$9x = -1$
$x = -1/9$.

Ответ: $x = -1/9$.

б)

Исходное уравнение: $(5x - 1)^3 = 25x^2(5x - 3)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть: используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
$(5x - 1)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5x \cdot 1^2 - 1^3 = 125x^3 - 3 \cdot 25x^2 + 15x - 1 = 125x^3 - 75x^2 + 15x - 1$.

Правая часть: раскроем скобки.
$25x^2(5x - 3) = 25x^2 \cdot 5x - 25x^2 \cdot 3 = 125x^3 - 75x^2$.

Приравняем полученные выражения:
$125x^3 - 75x^2 + 15x - 1 = 125x^3 - 75x^2$.

Вычтем из обеих частей уравнения $125x^3$ и прибавим к обеим частям $75x^2$.
$125x^3 - 75x^2 + 15x - 1 - 125x^3 + 75x^2 = 0$
$15x - 1 = 0$.

Решим полученное линейное уравнение:
$15x = 1$
$x = 1/15$.

Ответ: $x = 1/15$.