Номер 14, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 14, страница 42.

Условие.

14. Упростите выражение:

a) $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n = \dots$

б) $(0.5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1} = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $(3x^n + 2y^n)^2 - 12(xy)^n$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и свойством степени $(xy)^n = x^ny^n$.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

$(3x^n + 2y^n)^2 = (3x^n)^2 + 2 \cdot (3x^n) \cdot (2y^n) + (2y^n)^2 = 9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n}$

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$(9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n}) - 12(xy)^n$

3. Используем свойство степени $(xy)^n = x^ny^n$ для второго слагаемого:

$9x^{2n} + 12x^ny^n + 4y^{2n} - 12x^ny^n$

4. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $12x^ny^n$ и $-12x^ny^n$ взаимно уничтожаются:

$9x^{2n} + 4y^{2n}$

Ответ: $9x^{2n} + 4y^{2n}$

б) Чтобы упростить выражение $(0,5a^{2n+1} - b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и свойствами степеней.

1. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(0,5a^{2n+1})^2 - 2 \cdot (0,5a^{2n+1}) \cdot (b^{2n+1}) + (b^{2n+1})^2 + (ab)^{2n+1}$

2. Упростим каждый член выражения:

$(0,5)^2 \cdot (a^{2n+1})^2 - (2 \cdot 0,5) \cdot a^{2n+1}b^{2n+1} + (b^{2n+1})^2 + a^{2n+1}b^{2n+1}$

$0,25a^{2(2n+1)} - 1 \cdot a^{2n+1}b^{2n+1} + b^{2(2n+1)} + a^{2n+1}b^{2n+1}$

$0,25a^{4n+2} - a^{2n+1}b^{2n+1} + b^{4n+2} + a^{2n+1}b^{2n+1}$

3. Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-a^{2n+1}b^{2n+1}$ и $+a^{2n+1}b^{2n+1}$ взаимно уничтожаются:

$0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$

Ответ: $0,25a^{4n+2} + b^{4n+2}$