Номер 12, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 12, страница 42.

Условие.

12. На отрезке длиной $30 \text{ см}$ построены два квадрата, площадь одного из которых на $180 \text{ см}^2$ больше площади другого. Найдите длины сторон квадратов.

Решение.

......................

......................

......................

Решение.

Решение 2.

Решение.

Обозначим длину стороны большего квадрата как $a$ см, а длину стороны меньшего квадрата как $b$ см. Из рисунка видно, что сумма длин сторон этих квадратов равна длине всего отрезка, то есть 30 см.

Составим первое уравнение на основе этого условия:

$a + b = 30$

Площадь большего квадрата равна $S_1 = a^2$, а площадь меньшего квадрата равна $S_2 = b^2$. По условию задачи, площадь одного квадрата на 180 см² больше площади другого.

Составим второе уравнение, отражающее разность площадей:

$a^2 - b^2 = 180$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 30 \\ a^2 - b^2 = 180 \end{cases}$

Для решения системы используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим известное значение $(a+b)$ из первого уравнения во второе:

$(a - b) \cdot 30 = 180$

Теперь найдем разность сторон $(a - b)$, разделив обе части уравнения на 30:

$a - b = \frac{180}{30}$

$a - b = 6$

Теперь у нас есть новая, более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} a + b = 30 \\ a - b = 6 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = 30 + 6$

$2a = 36$

$a = \frac{36}{2}$

$a = 18$

Теперь, зная значение $a$, подставим его в первое уравнение ($a + b = 30$), чтобы найти $b$:

$18 + b = 30$

$b = 30 - 18$

$b = 12$

Итак, мы нашли длины сторон квадратов: 18 см и 12 см.

Проверим правильность решения:

1. Сумма длин сторон: $18 \text{ см} + 12 \text{ см} = 30 \text{ см}$. Условие выполняется.

2. Площади квадратов: $S_1 = 18^2 = 324 \text{ см}^2$, $S_2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2$.

3. Разность площадей: $324 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2 = 180 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины сторон квадратов равны 18 см и 12 см.