Номер 17, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 17, страница 43.

Условие.

17. Решите уравнение:

а) $(4x + 1)^3 = 16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4);$

б) $(3x - 2)^3 - 8(6x - 1) = 27x^2(x - 2).$

Решение.

Решение 2.

а)

Дано уравнение $(4x + 1)^3 = 16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4)$.

Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(4x + 1)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (4x) \cdot 1^2 + 1^3 = 64x^3 + 3 \cdot 16x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 12x + 1$.

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения, выполнив умножение:

$16x^2(4x + 3) + 2(5x + 4) = (64x^3 + 48x^2) + (10x + 8) = 64x^3 + 48x^2 + 10x + 8$.

Приравняем полученные выражения:

$64x^3 + 48x^2 + 12x + 1 = 64x^3 + 48x^2 + 10x + 8$.

Видим, что слагаемые $64x^3$ и $48x^2$ присутствуют в обеих частях уравнения. Сократим их:

$12x + 1 = 10x + 8$.

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$12x - 10x = 8 - 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x = 7$.

Найдем $x$:

$x = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$.

б)

Дано уравнение $(3x - 2)^3 - 8(6x - 1) = 27x^2(x - 2)$.

Раскроем скобки в левой части. Для $(3x - 2)^3$ используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(3x - 2)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot (3x) \cdot 2^2 - 2^3 = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 \cdot 2 + 9x \cdot 4 - 8 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$.

Теперь преобразуем всю левую часть:

$(27x^3 - 54x^2 + 36x - 8) - 8(6x - 1) = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8 - 48x + 8 = 27x^3 - 54x^2 - 12x$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$27x^2(x - 2) = 27x^3 - 54x^2$.

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$27x^3 - 54x^2 - 12x = 27x^3 - 54x^2$.

Сократим одинаковые слагаемые $27x^3$ и $-54x^2$ в обеих частях уравнения:

$-12x = 0$.

Отсюда находим значение $x$:

$x = 0$.

Ответ: $0$.