Номер 13, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 42.

Условие.

13. Преобразуйте выражение, используя формулу квадрата суммы или квадрата разности:

$(x^{n+3} + x^{n-3})^2 = (x^{n+3})^2 + 2x^{n+3} \cdot x^{n-3} + (x^{n-3})^2 = x^{2n+6} + 2x^{2n} + x^{2n-6}$

а) $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = $ .....................

.................

б) $(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = $ ......................

Решение.

Решение 2.

а) Для преобразования выражения $(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2$ необходимо использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении:

• первый член $x = a^{2n+1}$
• второй член $y = a^{2n-1}$

Применим формулу, подставив наши члены:

$(a^{2n+1} - a^{2n-1})^2 = (a^{2n+1})^2 - 2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} + (a^{2n-1})^2$.

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней:

1. Для первого слагаемого используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(a^{2n+1})^2 = a^{(2n+1) \cdot 2} = a^{4n+2}$.

2. Для второго слагаемого (удвоенного произведения) используем свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$2 \cdot a^{2n+1} \cdot a^{2n-1} = 2 \cdot a^{(2n+1) + (2n-1)} = 2 \cdot a^{4n}$.

3. Для третьего слагаемого снова используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(a^{2n-1})^2 = a^{(2n-1) \cdot 2} = a^{4n-2}$.

Соединив упрощенные части, получаем окончательный результат:

$a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.

Ответ: $a^{4n+2} - 2a^{4n} + a^{4n-2}$.

б) Для преобразования выражения $(y^{m+n} + y^{m-n})^2$ необходимо использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

• первый член $x = y^{m+n}$
• второй член $y = y^{m-n}$

Применим формулу, подставив наши члены:

$(y^{m+n} + y^{m-n})^2 = (y^{m+n})^2 + 2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} + (y^{m-n})^2$.

Теперь упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней:

1. Для первого слагаемого используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(y^{m+n})^2 = y^{(m+n) \cdot 2} = y^{2m+2n}$.

2. Для второго слагаемого (удвоенного произведения) используем свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$2 \cdot y^{m+n} \cdot y^{m-n} = 2 \cdot y^{(m+n) + (m-n)} = 2 \cdot y^{2m}$.

3. Для третьего слагаемого снова используем свойство $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:

$(y^{m-n})^2 = y^{(m-n) \cdot 2} = y^{2m-2n}$.

Соединив упрощенные части, получаем окончательный результат:

$y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.

Ответ: $y^{2m+2n} + 2y^{2m} + y^{2m-2n}$.