Номер 2, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 2, страница 44.

Условие.

2. Подчеркните те из трёхчленов, которые можно представить в виде квадрата двучлена:

$1 - 4a + 4a^2$, $25 + 10b + b^2$, $16 - a^2 + 8a$, $\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$,

$p^2 + 4c^2 - 4pc$, $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$, $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, можно ли представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Трёхчлен является полным квадратом, если:

1. Два его члена являются полными квадратами некоторых выражений (например, $A^2$ и $B^2$) и они неотрицательны.
2. Третий член равен удвоенному произведению этих выражений, взятому со знаком плюс или минус ($\pm 2AB$).

Проанализируем каждый из предложенных трёхчленов.

---

$1 - 4a + 4a^2$

Переставим члены для удобства: $4a^2 - 4a + 1$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $4a^2 = (2a)^2$ $1 = 1^2$ Теперь проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $2a$ и $1$ со знаком минус: $-2 \cdot (2a) \cdot 1 = -4a$. Это совпадает со средним членом трёхчлена. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $1 - 4a + 4a^2 = (1 - 2a)^2$.

$25 + 10b + b^2$

Переставим члены: $b^2 + 10b + 25$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $b^2 = (b)^2$ $25 = 5^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $b$ и $5$ со знаком плюс: $2 \cdot b \cdot 5 = 10b$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом суммы.

Ответ: Да, можно. $25 + 10b + b^2 = (5 + b)^2$.

$16 - a^2 + 8a$

Переставим члены: $-a^2 + 8a + 16$. В формуле полного квадрата $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$ оба члена, представляющие собой квадраты ($x^2$ и $y^2$), должны быть положительными. В данном трёхчлене присутствует член $-a^2$, который имеет отрицательный знак. Поэтому данный трёхчлен не может быть представлен в виде квадрата двучлена.

Ответ: Нет, нельзя.

$\frac{1}{9}x^2 + xy + 9y^2$

Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{9}x^2 = (\frac{1}{3}x)^2$ $9y^2 = (3y)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{3}x$ и $3y$ со знаком плюс: $2 \cdot (\frac{1}{3}x) \cdot (3y) = 2 \cdot x \cdot y = 2xy$. Средний член в заданном трёхчлене равен $xy$, что не совпадает с требуемым значением $2xy$.

Ответ: Нет, нельзя.

$p^2 + 4c^2 - 4pc$

Переставим члены: $p^2 - 4pc + 4c^2$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $p^2 = (p)^2$ $4c^2 = (2c)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $p$ и $2c$ со знаком минус: $-2 \cdot p \cdot (2c) = -4pc$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $p^2 + 4c^2 - 4pc = (p - 2c)^2$.

$\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2$

Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{36}m^2 = (\frac{1}{6}m)^2$ $9n^2 = (3n)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{6}m$ и $3n$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{6}m) \cdot (3n) = -2 \cdot \frac{3}{6}mn = -mn$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $\frac{1}{36}m^2 - mn + 9n^2 = (\frac{1}{6}m - 3n)^2$.

$-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2$

Переставим члены: $\frac{1}{4}a^2 - 2ab + 4b^2$. Проверим наличие двух членов, являющихся полными квадратами: $\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$ $4b^2 = (2b)^2$ Проверим третий член. Он должен быть равен удвоенному произведению $\frac{1}{2}a$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -2ab$. Это совпадает со средним членом. Следовательно, выражение является полным квадратом разности.

Ответ: Да, можно. $-2ab + \frac{1}{4}a^2 + 4b^2 = (\frac{1}{2}a - 2b)^2$.