Номер 5, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 5, страница 45.

Условие.

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена:

$-p^8 + 2p^4 - 1 = -(p^8 - 2p^4 + 1) = -(p^4 - 1)^2$

а) $n^4 - 4n^2 + 4 = \text{........................}$

б) $-x^2 - 2x - 1 = \text{........................}$

в) $100b^2 + 4 + 40b = \text{........................}$

г) $1 + 144m^2 - 24m = \text{........................}$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

а) Дан трёхчлен $n^4 - 4n^2 + 4$. Он похож на формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = n^4$, тогда $a = n^2$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$. Теперь проверим, совпадает ли удвоенное произведение $2ab$ со средним членом нашего трёхчлена. $2ab = 2 \cdot n^2 \cdot 2 = 4n^2$. В исходном выражении средний член равен $-4n^2$. Таким образом, мы имеем полное совпадение с формулой квадрата разности: $n^4 - 4n^2 + 4 = (n^2)^2 - 2 \cdot n^2 \cdot 2 + 2^2 = (n^2 - 2)^2$.
Ответ: $(n^2 - 2)^2$.

б) Дан трёхчлен $-x^2 - 2x - 1$. Сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы получить положительный старший член: $-x^2 - 2x - 1 = -(x^2 + 2x + 1)$. Теперь выражение в скобках $x^2 + 2x + 1$ похоже на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = x^2$, тогда $a=x$. Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$. Он совпадает со средним членом в скобках. Следовательно, $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Возвращая вынесенный минус, получаем: $-(x+1)^2$. Это выражение, противоположное квадрату двучлена.
Ответ: $-(x+1)^2$.

в) Дан трёхчлен $100b^2 + 4 + 40b$. Для удобства расположим члены в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $b$): $100b^2 + 40b + 4$. Это выражение похоже на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 100b^2$, тогда $a = 10b$. Пусть $b^2 = 4$, тогда $b=2$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (10b) \cdot 2 = 40b$. Он совпадает со средним членом нашего выражения. Таким образом, $100b^2 + 40b + 4 = (10b + 2)^2$.
Ответ: $(10b + 2)^2$.

г) Дан трёхчлен $1 + 144m^2 - 24m$. Расположим члены в стандартном порядке: $144m^2 - 24m + 1$. Это выражение похоже на формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Определим $a$ и $b$. Пусть $a^2 = 144m^2$, тогда $a = 12m$. Пусть $b^2 = 1$, тогда $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (12m) \cdot 1 = 24m$. В исходном выражении средний член равен $-24m$. Таким образом, мы имеем полное совпадение с формулой квадрата разности: $144m^2 - 24m + 1 = (12m)^2 - 2 \cdot 12m \cdot 1 + 1^2 = (12m - 1)^2$.
Ответ: $(12m - 1)^2$.