Номер 11, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 11, страница 47.

Условие.

11. Выделите квадрат двучлена из трёхчлена:

$a^2 + 8a + 27 = a^2 + 8a + 64 - 64 + 27 = (a + 8)^2 - 37$

а) $p^2 - 16p + 65 = $

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2 = $

в) $225p^2 - 30p + 2 = $

Решение.

Решение 2.

Метод выделения полного квадрата заключается в преобразовании трёхчлена к виду $(x \pm y)^2 + c$, используя формулы сокращённого умножения: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

а) $p^2 - 16p + 65$

Для выделения квадрата двучлена из данного трёхчлена, мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $p^2 - 16p + 65$, первый член $p^2$ соответствует $x^2$, значит $x=p$.

Удвоенное произведение $2xy$ соответствует члену $16p$. Таким образом, $2 \cdot p \cdot y = 16p$. Отсюда находим $y$: $y = \frac{16p}{2p} = 8$.

Чтобы получить полный квадрат, нам нужен член $y^2$, который равен $8^2 = 64$.

Представим исходный трёхчлен, добавив и вычтя 64, чтобы не изменить его значение:

$p^2 - 16p + 65 = p^2 - 16p + 64 - 64 + 65$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(p^2 - 16p + 64) - 64 + 65$

Выражение в скобках является квадратом разности $(p-8)^2$. Выполним оставшиеся вычисления:

$(p-8)^2 + 1$

Ответ: $(p-8)^2 + 1$

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2$

В этом случае мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член $9a^2$ можно представить как $(3a)^2$. Значит, $x=3a$.

Второй член, $12ab$, является удвоенным произведением $2xy$. Подставим $x=3a$: $2 \cdot (3a) \cdot y = 12ab$, что даёт $6ay = 12ab$. Отсюда находим $y = \frac{12ab}{6a} = 2b$.

Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = (2b)^2 = 4b^2$.

Добавим и вычтем $4b^2$ в исходном выражении:

$9a^2 + 12ab + 16b^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2 - 4b^2 + 16b^2$

Сгруппируем первые три члена:

$(9a^2 + 12ab + 4b^2) - 4b^2 + 16b^2$

Выражение в скобках является квадратом суммы $(3a+2b)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(3a+2b)^2 + 12b^2$

Ответ: $(3a+2b)^2 + 12b^2$

в) $225p^2 - 30p + 2$

Здесь мы снова используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $225p^2$ равен $(15p)^2$. Значит, $x=15p$.

Второй член $30p$ является удвоенным произведением $2xy$. Следовательно, $2 \cdot (15p) \cdot y = 30p$, что даёт $30py = 30p$. Отсюда $y = \frac{30p}{30p} = 1$.

Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = 1^2 = 1$.

Добавим и вычтем 1 в исходном выражении:

$225p^2 - 30p + 2 = 225p^2 - 30p + 1 - 1 + 2$

Сгруппируем первые три члена:

$(225p^2 - 30p + 1) - 1 + 2$

Выражение в скобках является квадратом разности $(15p-1)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(15p-1)^2 + 1$

Ответ: $(15p-1)^2 + 1$