Номер 2, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 2, страница 48.

Условие.

2. Выполните умножение:

a) $5x(x - 4)(x + 4) = \ldots$

б) $-4y(y - 2)(2 + y) = \ldots$

в) $y^2(y^3 - 5)(y^3 + 5) = \ldots$

г) $-p^3(4 - p^2)(p^2 + 4) = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращённого умножения — разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала умножим скобки $(x - 4)(x + 4)$. Здесь $a = x$, а $b = 4$.
$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Теперь подставим это выражение обратно в исходное и умножим на $5x$:
$5x(x^2 - 16) = 5x \cdot x^2 - 5x \cdot 16 = 5x^3 - 80x$.
Ответ: $5x^3 - 80x$.

б) В данном выражении также можно применить формулу разности квадратов. Для этого поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(2 + y) = (y + 2)$.
Теперь выражение имеет вид: $-4y(y - 2)(y + 2)$.
Применим формулу разности квадратов к $(y - 2)(y + 2)$, где $a = y$, а $b = 2$:
$(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$.
Умножим полученный результат на $-4y$:
$-4y(y^2 - 4) = -4y \cdot y^2 - (-4y) \cdot 4 = -4y^3 + 16y$.
Ответ: $-4y^3 + 16y$.

в) Снова используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В этом случае $a = y^3$, а $b = 5$.
$(y^3 - 5)(y^3 + 5) = (y^3)^2 - 5^2 = y^{3 \cdot 2} - 25 = y^6 - 25$.
Далее, умножим полученное выражение на $y^2$:
$y^2(y^6 - 25) = y^2 \cdot y^6 - y^2 \cdot 25 = y^{2+6} - 25y^2 = y^8 - 25y^2$.
Ответ: $y^8 - 25y^2$.

г) Для удобства применения формулы разности квадратов переставим множители: $-p^3(4 - p^2)(4 + p^2)$.
Применим формулу к выражению $(4 - p^2)(4 + p^2)$, где $a = 4$, а $b = p^2$:
$(4 - p^2)(4 + p^2) = 4^2 - (p^2)^2 = 16 - p^{2 \cdot 2} = 16 - p^4$.
Теперь умножим результат на $-p^3$:
$-p^3(16 - p^4) = -p^3 \cdot 16 - (-p^3) \cdot p^4 = -16p^3 + p^{3+4} = -16p^3 + p^7$.
Для стандартной записи многочлена расположим члены по убыванию степеней: $p^7 - 16p^3$.
Ответ: $p^7 - 16p^3$.