Номер 9, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 9, страница 50.

Условие.

9. Выполните умножение:

$(a^{3n} - b^{3n})(a^{3n} + b^{3n}) = (a^{3n})^2 - (b^{3n})^2 = a^{6n} - b^{6n}$

a) $(2^k + 3^p)(3^p - 2^k) = $

б) $(6x^{k-2} - y^{k+2})(y^{k+2} + 6x^{k-2}) = $

в) $(10p^{m-1} + 9q^n)(9q^n - 10p^{m-1}) = $

Решение.

Решение 2.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) $(2^k + 3^p)(3^p - 2^k)$

Чтобы применить формулу, поменяем слагаемые в первой скобке местами, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

$(2^k + 3^p)(3^p - 2^k) = (3^p + 2^k)(3^p - 2^k)$

Теперь выражение имеет вид $(a+b)(a-b)$, где $a = 3^p$ и $b = 2^k$. Применяем формулу разности квадратов:

$(3^p)^2 - (2^k)^2$

Используя свойство степени "возведение степени в степень" $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем:

$3^{2p} - 2^{2k}$

Ответ: $3^{2p} - 2^{2k}$

б) $(6x^{k-2} - y^{k+2})(y^{k+2} + 6x^{k-2})$

Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы:

$(6x^{k-2} - y^{k+2})(6x^{k-2} + y^{k+2})$

В данном случае $a = 6x^{k-2}$ и $b = y^{k+2}$. Применяем формулу разности квадратов:

$(6x^{k-2})^2 - (y^{k+2})^2$

Теперь возведем в квадрат каждый член, используя свойства степеней $(xy)^n = x^ny^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(6x^{k-2})^2 = 6^2 \cdot (x^{k-2})^2 = 36x^{2(k-2)} = 36x^{2k-4}$

$(y^{k+2})^2 = y^{2(k+2)} = y^{2k+4}$

Подставляем полученные выражения обратно:

$36x^{2k-4} - y^{2k+4}$

Ответ: $36x^{2k-4} - y^{2k+4}$

в) $(10p^{m-1} + 9q^n)(9q^n - 10p^{m-1})$

Переставим слагаемые в первой скобке:

$(9q^n + 10p^{m-1})(9q^n - 10p^{m-1})$

Здесь $a = 9q^n$ и $b = 10p^{m-1}$. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$(9q^n)^2 - (10p^{m-1})^2$

Возводим в квадрат, применяя свойства степеней:

$(9q^n)^2 = 9^2 \cdot (q^n)^2 = 81q^{2n}$

$(10p^{m-1})^2 = 10^2 \cdot (p^{m-1})^2 = 100p^{2(m-1)} = 100p^{2m-2}$

Собираем итоговое выражение:

$81q^{2n} - 100p^{2m-2}$

Ответ: $81q^{2n} - 100p^{2m-2}$