Номер 13, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

30. Умножение разности двух выражений на их сумму. Глава V. Формулы сокращённого умножения. Часть 2 - номер 13, страница 52.

Условие.

13. Упростите выражение:

a) $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n) = \ldots$

б) $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1}) = \ldots$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы упростить выражение $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n)$, заметим, что оно содержит множители, подходящие под формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Перегруппируем множители для удобства:

$((x^n + y^n)(x^n - y^n))(x^{2n} + y^{2n})$

Применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам, где $a = x^n$ и $b = y^n$:

$(x^n)^2 - (y^n)^2 = x^{2n} - y^{2n}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$(x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})$

Мы снова можем применить формулу разности квадратов, но на этот раз $a = x^{2n}$ и $b = y^{2n}$:

$(x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = x^{2n \cdot 2} - y^{2n \cdot 2} = x^{4n} - y^{4n}$

Ответ: $x^{4n} - y^{4n}$

б)

Упростим выражение $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1})$. Этот пример решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов.

Сначала перемножим первую и третью скобки:

$(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{n+1} + b^{n+1})$

Применяя формулу $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = a^{n+1}$ и $B = b^{n+1}$, получаем:

$(a^{n+1})^2 - (b^{n+1})^2 = a^{2(n+1)} - b^{2(n+1)} = a^{2n+2} - b^{2n+2}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(a^{2n+2} - b^{2n+2})(a^{2n+2} + b^{2n+2})$

Снова используем формулу разности квадратов, где $A = a^{2n+2}$ и $B = b^{2n+2}$:

$(a^{2n+2})^2 - (b^{2n+2})^2 = a^{2(2n+2)} - b^{2(2n+2)} = a^{4n+4} - b^{4n+4}$

Ответ: $a^{4n+4} - b^{4n+4}$