Страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

9. Функция задана формулой $y = \frac{1}{x^2 + 2}$, где $-3 \le x \le 3$. Составьте таблицу с шагом 1 и заполните её:

x -3 -2

y $\frac{1}{6}$

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо вычислить значения функции $y=\frac{1}{x^2+2}$ для каждого целого значения $x$ на отрезке $[-3; 3]$. Значения $x$ с шагом 1 будут: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Выполним вычисления для каждого значения $x$.

При x = -3
Подставляем $x = -3$ в формулу:
$y = \frac{1}{(-3)^2 + 2} = \frac{1}{9 + 2} = \frac{1}{11}$

При x = -2
Подставляем $x = -2$ в формулу:
$y = \frac{1}{(-2)^2 + 2} = \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{6}$
(Это значение уже указано в таблице).

При x = -1
Подставляем $x = -1$ в формулу:
$y = \frac{1}{(-1)^2 + 2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$

При x = 0
Подставляем $x = 0$ в формулу:
$y = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$

При x = 1
Подставляем $x = 1$ в формулу:
$y = \frac{1}{1^2 + 2} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$

При x = 2
Подставляем $x = 2$ в формулу:
$y = \frac{1}{2^2 + 2} = \frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{6}$

При x = 3
Подставляем $x = 3$ в формулу:
$y = \frac{1}{3^2 + 2} = \frac{1}{9 + 2} = \frac{1}{11}$

Теперь мы можем заполнить таблицу полученными значениями.

Ответ:

10. Функция задана формулой $y=3(x-8)$. Заполните таблицу:

$3(x-8)=30,3;$

$x-8=10,1;$

$x=10,1+8=18,1$

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого столбца либо найти значение y по известному значению x, либо найти значение x по известному значению y, используя заданную формулу $y = 3(x - 8)$.

Для y = 0:

Подставим значение $y = 0$ в формулу и решим уравнение относительно $x$:

$0 = 3(x - 8)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$0 = x - 8$

Перенесем 8 в левую часть:

$x = 8$

Ответ: 8

Для x = 10:

Подставим значение $x = 10$ в формулу:

$y = 3(10 - 8)$

$y = 3 \cdot 2$

$y = 6$

Ответ: 6

Для x = 10,2:

Подставим значение $x = 10,2$ в формулу:

$y = 3(10,2 - 8)$

$y = 3 \cdot 2,2$

$y = 6,6$

Ответ: 6,6

Для y = 24:

Подставим значение $y = 24$ в формулу и решим уравнение относительно $x$:

$24 = 3(x - 8)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$8 = x - 8$

Перенесем 8 в левую часть:

$x = 8 + 8$

$x = 16$

Ответ: 16

Для x = 18:

Подставим значение $x = 18$ в формулу:

$y = 3(18 - 8)$

$y = 3 \cdot 10$

$y = 30$

Ответ: 30

Для x = 20,4:

Подставим значение $x = 20,4$ в формулу:

$y = 3(20,4 - 8)$

$y = 3 \cdot 12,4$

$y = 37,2$

Ответ: 37,2

Итоговая заполненная таблица:

11. Лист картона имеет форму квадрата со стороной 20 см. Для изготовления коробки от него отрезают по углам квадраты со стороной $x$ см и загибают края. Задайте формулой зависимость вместимости полученной коробки ($V$ см${^3}$) от $x$: ..........................

Вычислите значения V при заданных значениях x:

если $x = 5$, то $V = \ldots$

если $x = 4$, то $V = \ldots$

если $x = 3$, то $V = \ldots$

Для того чтобы задать формулой зависимость вместимости (объема) $V$ полученной коробки от $x$, определим ее размеры.

Исходный лист картона — это квадрат со стороной 20 см. Когда по углам вырезают квадраты со стороной $x$ см и загибают края, получается открытая коробка (прямоугольный параллелепипед) со следующими размерами:

Высота коробки ($h$) будет равна стороне вырезанного квадрата: $h = x$ см.

Длина ($l$) и ширина ($w$) основания коробки будут равны стороне исходного листа картона за вычетом двух длин сторон вырезанных квадратов (по одной с каждой стороны):
$l = w = 20 - x - x = 20 - 2x$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$. Подставив наши значения, получим искомую зависимость:
$V(x) = (20 - 2x) \cdot (20 - 2x) \cdot x = x(20 - 2x)^2$.

Ответ: $V(x) = x(20 - 2x)^2$.

Теперь вычислим значения $V$ при заданных значениях $x$, используя полученную формулу.

если x=5, то V=
Подставляем $x=5$ в формулу:
$V(5) = 5 \cdot (20 - 2 \cdot 5)^2 = 5 \cdot (20 - 10)^2 = 5 \cdot 10^2 = 5 \cdot 100 = 500$.
Ответ: 500.

если x=4, то V=
Подставляем $x=4$ в формулу:
$V(4) = 4 \cdot (20 - 2 \cdot 4)^2 = 4 \cdot (20 - 8)^2 = 4 \cdot 12^2 = 4 \cdot 144 = 576$.
Ответ: 576.

если x=3, то V=
Подставляем $x=3$ в формулу:
$V(3) = 3 \cdot (20 - 2 \cdot 3)^2 = 3 \cdot (20 - 6)^2 = 3 \cdot 14^2 = 3 \cdot 196 = 588$.
Ответ: 588.

13. Упростите выражение:

a) $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n) = \ldots$

б) $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1}) = \ldots$

а)

Чтобы упростить выражение $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n)$, заметим, что оно содержит множители, подходящие под формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Перегруппируем множители для удобства:

$((x^n + y^n)(x^n - y^n))(x^{2n} + y^{2n})$

Применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам, где $a = x^n$ и $b = y^n$:

$(x^n)^2 - (y^n)^2 = x^{2n} - y^{2n}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$(x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})$

Мы снова можем применить формулу разности квадратов, но на этот раз $a = x^{2n}$ и $b = y^{2n}$:

$(x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = x^{2n \cdot 2} - y^{2n \cdot 2} = x^{4n} - y^{4n}$

Ответ: $x^{4n} - y^{4n}$

б)

Упростим выражение $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1})$. Этот пример решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов.

Сначала перемножим первую и третью скобки:

$(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{n+1} + b^{n+1})$

Применяя формулу $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$, где $A = a^{n+1}$ и $B = b^{n+1}$, получаем:

$(a^{n+1})^2 - (b^{n+1})^2 = a^{2(n+1)} - b^{2(n+1)} = a^{2n+2} - b^{2n+2}$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(a^{2n+2} - b^{2n+2})(a^{2n+2} + b^{2n+2})$

Снова используем формулу разности квадратов, где $A = a^{2n+2}$ и $B = b^{2n+2}$:

$(a^{2n+2})^2 - (b^{2n+2})^2 = a^{2(2n+2)} - b^{2(2n+2)} = a^{4n+4} - b^{4n+4}$

Ответ: $a^{4n+4} - b^{4n+4}$

14. Преобразуйте выражения в многочлен:

a) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

$= (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) - x^{32} =$

а) Для решения этой задачи мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

1. Сначала преобразуем первые два множителя:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Выражение примет вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

2. Теперь применим ту же формулу к новым первым двум множителям, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение станет таким:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

3. Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^4$ и $y = b^4$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

Выражение упрощается до:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8)$

4. И последний раз применяем формулу, где $x = a^8$ и $y = b^8$:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8) = (a^8)^2 - (b^8)^2 = a^{16} - b^{16}$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение в многочлен.

Ответ: $a^{16} - b^{16}$

б) В этом выражении также используется многократное применение формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Исходное выражение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) - x^{32}$

1. Упростим произведение скобок, последовательно сворачивая их:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Подставим результат в произведение:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

2. Следующий шаг:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Продолжаем упрощать произведение:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

3. Повторяем процедуру:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

$(x^8 - 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

4. Ещё раз:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1)$

5. И последнее преобразование произведения:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$

6. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^{32} - 1) - x^{32}$

7. Упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$x^{32} - 1 - x^{32} = -1$

Ответ: $-1$