Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

4. Функция задана формулой $y = 0.2x - 5$. Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно:

а) -3;

б) 0.

Дана функция, заданная формулой $y = 0,2x - 5$. Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно заданному числу, необходимо подставить это число вместо $y$ в формулу и решить полученное уравнение относительно $x$.

а)

Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции равно -3. Для этого подставим $y = -3$ в формулу функции:

$-3 = 0,2x - 5$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем член с $x$ в левую часть, а числовые члены в правую (или наоборот, как удобнее). Давайте перенесем -5 в левую часть, изменив знак:

$-3 + 5 = 0,2x$

$2 = 0,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,2:

$x = \frac{2}{0,2}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{2 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Ответ: 10

б)

Найдем значение аргумента $x$, при котором значение функции равно 0. Для этого подставим $y = 0$ в формулу функции:

$0 = 0,2x - 5$

Перенесем -5 в левую часть уравнения, изменив знак:

$5 = 0,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,2:

$x = \frac{5}{0,2}$

Умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{5 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{50}{2}$

$x = 25$

Ответ: 25

5. Автобус движется со скоростью 40 км/ч. Время, затраченное им на прохождение расстояния $s$ км, зависит от длины пути.

Задайте формулой эту зависимость:

$t = \frac{s}{40}$

Заполните таблицу:

Задайте формулой эту зависимость:

Взаимосвязь между расстоянием $s$, скоростью $v$ и временем $t$ описывается формулой движения: $s = v \cdot t$. По условию задачи, скорость автобуса $v$ постоянна и равна 40 км/ч. Нам необходимо выразить зависимость времени $t$ (в часах) от пройденного расстояния $s$ (в километрах). Для этого преобразуем исходную формулу, выразив из нее время $t$:

$t = \frac{s}{v}$

Подставив в эту формулу известное значение скорости $v = 40$ км/ч, мы получим искомую зависимость:

$t = \frac{s}{40}$

Ответ: $t(s) = \frac{s}{40}$.

Заполните таблицу:

Для того чтобы заполнить пустые ячейки в таблице, мы будем использовать выведенную выше формулу $t = \frac{s}{40}$. Если в ячейке дано время $t$, а нужно найти расстояние $s$, мы используем производную от нее формулу: $s = 40 \cdot t$.

Выполним необходимые вычисления для каждой пустой ячейки:

• Находим время для $s = 120$ км:
  $t = \frac{120}{40} = 3$ ч.
• Находим время для $s = 180$ км:
  $t = \frac{180}{40} = 4,5$ ч.
• Находим расстояние для $t = 5,5$ ч:
  $s = 40 \cdot 5,5 = 220$ км.
• Находим время для $s = 280$ км:
  $t = \frac{280}{40} = 7$ ч.
• Находим расстояние для $t = 12$ ч:
  $s = 40 \cdot 12 = 480$ км.

Ответ:

6. Масса одного кубического сантиметра свинца равна 11,4 г. Масса $V \text{ см}^3$ свинца равна $m \text{ г}$. Задайте формулой зависимость:

a) $m$ от $V$:

б) $V$ от $m$:

а) m от V: Масса тела ($m$) связана с его объемом ($V$) и плотностью ($\rho$) через формулу: $m = \rho \cdot V$. В задаче указано, что масса одного кубического сантиметра свинца равна 11,4 г. Это значение является плотностью свинца, то есть $\rho = 11.4$ г/см³. Подставив это значение в формулу, мы получим искомую зависимость массы $m$ от объема $V$.
$m = 11.4 \cdot V$
Ответ: $m = 11.4V$

б) V от m: Чтобы найти зависимость объема $V$ от массы $m$, необходимо выразить $V$ из формулы, полученной в предыдущем пункте: $m = 11.4V$. Для этого разделим обе части уравнения на коэффициент 11.4.
$\frac{m}{11.4} = \frac{11.4V}{11.4}$
$V = \frac{m}{11.4}$
Ответ: $V = \frac{m}{11.4}$

7. Функция задана формулой $y = x^2 + 1$. Заполните таблицу:

x: -4, -1,5, 0, 0,2, 1, 5

y: , 3,25, , , ,

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из таблицы найти соответствующее значение $y$, подставив $x$ в формулу функции $y = x^2 + 1$.

При $x = -4$:

Подставляем значение в формулу: $y = (-4)^2 + 1 = 16 + 1 = 17$.

Ответ: 17

При $x = -1,5$:

Это значение уже дано в таблице, но для проверки выполним вычисление: $y = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25$.

Ответ: 3,25

При $x = 0$:

Подставляем значение в формулу: $y = 0^2 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1

При $x = 0,2$:

Подставляем значение в формулу: $y = (0,2)^2 + 1 = 0,04 + 1 = 1,04$.

Ответ: 1,04

При $x = 1$:

Подставляем значение в формулу: $y = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

При $x = 5$:

Подставляем значение в формулу: $y = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Ответ: 26

Внесем все полученные значения в таблицу:

8. При делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ в частном получается 3, а в остатке 2. Задайте формулой зависимость $q$ от $p$:

$q = \frac{p - 2}{3}$

Найдите три какие-либо пары соответственных значений $p$ и $q$:

если $p$=........... то $q$=...........

если $p$=........... то $q$=...........

если $p$=........... то $q$=...........

Задайте формулой зависимость q от p:

Условие, что при делении натурального числа $p$ на натуральное число $q$ в частном получается 3, а в остатке 2, можно записать с помощью формулы деления с остатком: $p = 3 \cdot q + 2$

Чтобы выразить зависимость $q$ от $p$, необходимо решить это уравнение относительно переменной $q$:

$p - 2 = 3q$

$q = \frac{p - 2}{3}$

Важно также помнить, что остаток от деления всегда должен быть меньше делителя. В данном случае остаток равен 2, а делитель — это $q$. Следовательно, должно выполняться неравенство $q > 2$. Поскольку $q$ — натуральное число, это означает, что $q \ge 3$.

Ответ: $q = \frac{p - 2}{3}$

Найдите три какие-либо пары соответственных значений p и q:

Для нахождения пар значений будем использовать выведенную формулу $p = 3q + 2$ и условие $q \ge 3$. Мы можем выбрать любое натуральное число для $q$, которое больше 2, и вычислить соответствующее значение $p$.

• Возьмем наименьшее возможное значение $q = 3$.
  Тогда $p = 3 \cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11$.
  Получаем пару: если $p = 11$, то $q = 3$. Проверка: $11 \div 3 = 3$ (ост. 2).
• Возьмем следующее значение $q = 4$.
  Тогда $p = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$.
  Получаем пару: если $p = 14$, то $q = 4$. Проверка: $14 \div 4 = 3$ (ост. 2).
• Возьмем $q = 5$.
  Тогда $p = 3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17$.
  Получаем пару: если $p = 17$, то $q = 5$. Проверка: $17 \div 5 = 3$ (ост. 2).

Ответ:
если p = 11, то q = 3
если p = 14, то q = 4
если p = 17, то q = 5

10. Решите уравнение:

a) $ (3x - 2)(2 + 3x) - 9x(x - 1) = 5; $

б) $ (y + 6)(6 - y) + y(y + 9) = 54. $

а) $(3x - 2)(2 + 3x) - 9x(x - 1) = 5$

Для решения уравнения раскроем скобки. Первое произведение $(3x - 2)(2 + 3x)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, где $a = 3x$ и $b = 2$.

$(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Раскроем вторую часть выражения, умножив $-9x$ на каждый член в скобках $(x - 1)$:

$-9x(x - 1) = -9x \cdot x - 9x \cdot (-1) = -9x^2 + 9x$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(9x^2 - 4) + (-9x^2 + 9x) = 5$.

$9x^2 - 4 - 9x^2 + 9x = 5$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются:

$9x - 4 = 5$.

Перенесем число -4 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$9x = 5 + 4$.

$9x = 9$.

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 9:

$x = \frac{9}{9}$.

$x = 1$.

Ответ: $1$.

б) $(y + 6)(6 - y) + y(y + 9) = 54$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Произведение $(y + 6)(6 - y)$ также представляет собой разность квадратов. Запишем его в виде $(6 + y)(6 - y)$, что соответствует формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 6$ и $b = y$.

$(6 + y)(6 - y) = 6^2 - y^2 = 36 - y^2$.

Раскроем второе слагаемое, умножив $y$ на каждый член в скобках $(y + 9)$:

$y(y + 9) = y \cdot y + y \cdot 9 = y^2 + 9y$.

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(36 - y^2) + (y^2 + 9y) = 54$.

$36 - y^2 + y^2 + 9y = 54$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $-y^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются:

$36 + 9y = 54$.

Перенесем число 36 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$9y = 54 - 36$.

$9y = 18$.

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 9:

$y = \frac{18}{9}$.

$y = 2$.

Ответ: $2$.

11. Докажите, что при любом значении b:

а) значение выражения $\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) + 2,75$ равно 3;

б) значение выражения $\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)(0,25b + 3,2) + \frac{1}{16}b^2$ равно 10,24.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $b$, упростим его. Рассмотрим произведение скобок: $(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$. Переставим слагаемые в первой скобке: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$. Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$, где $a = \frac{1}{2}$ и $c = \frac{1}{3}b$.
Применим формулу:
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b) = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$\frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2) + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{4} + 2,75$.
Члены, содержащие $b^2$, взаимно уничтожаются. Остается вычислить сумму чисел. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{4} = 0,25$.
$0,25 + 2,75 = 3$.
Таким образом, значение выражения равно 3 при любом значении $b$, что и требовалось доказать.
Ответ: 3.

б) Упростим данное выражение. Рассмотрим произведение скобок: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(0,25b + 3,2)$. Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{1}{4}$. Тогда произведение примет вид: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(\frac{1}{4}b + 3,2)$.
Переставим слагаемые во второй скобке: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(3,2 + \frac{1}{4}b)$. Это также формула разности квадратов $(a-c)(a+c) = a^2 - c^2$, где $a = 3,2$ и $c = \frac{1}{4}b$.
Применим формулу:
$(3,2)^2 - (\frac{1}{4}b)^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(10,24 - \frac{1}{16}b^2) + \frac{1}{16}b^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2$.
Члены, содержащие $b^2$, взаимно уничтожаются.
В результате остается $10,24$.
Следовательно, значение выражения равно $10,24$ при любом значении $b$, что и требовалось доказать.
Ответ: 10,24.

12. Представьте в виде многочлена выражение:

$(a+b-2)(a+b+2)=(a+b)^2-2^2=a^2+2ab+b^2-4$

а) $(x-y-7)(x+7-y)=$

б) $(m-3n-2)(m+3n+2)=$

в) $(a-4b+6)(a+6+4b)=$

а) Чтобы представить выражение $(x-y-7)(x+7-y)$ в виде многочлена, воспользуемся формулой разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в скобках. Заметим, что во второй скобке можно поменять слагаемые местами: $(x+7-y) = (x-y+7)$.

Получаем: $(x-y-7)(x-y+7)$.

Теперь выражение имеет вид $((x-y)-7)((x-y)+7)$.

Здесь $A = (x-y)$ и $B = 7$. Применяем формулу разности квадратов:

$(x-y)^2 - 7^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$(x^2 - 2xy + y^2) - 49 = x^2 - 2xy + y^2 - 49$.

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - 49$.

б) Рассмотрим выражение $(m-3n-2)(m+3n+2)$. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу разности квадратов. Вынесем минус за скобки в первом множителе:

$(m - (3n+2))(m + (3n+2))$

Это выражение соответствует формуле $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$, где $A = m$ и $B = (3n+2)$.

Применяем формулу:

$m^2 - (3n+2)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$m^2 - ((3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 2 + 2^2) = m^2 - (9n^2 + 12n + 4)$

Раскрываем скобки, меняя знаки:

$m^2 - 9n^2 - 12n - 4$.

Ответ: $m^2 - 9n^2 - 12n - 4$.

в) Рассмотрим выражение $(a-4b+6)(a+6+4b)$. Перегруппируем слагаемые в скобках для удобства:

$((a+6)-4b)((a+6)+4b)$

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$, где $A = (a+6)$ и $B = 4b$.

Применяем формулу:

$(a+6)^2 - (4b)^2$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и возведем в квадрат второй член:

$(a^2 + 2 \cdot a \cdot 6 + 6^2) - 16b^2 = (a^2 + 12a + 36) - 16b^2$

Запишем итоговый многочлен в стандартном виде:

$a^2 - 16b^2 + 12a + 36$.

Ответ: $a^2 - 16b^2 + 12a + 36$.